Задача 10151546 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Логарифмируем обе части по основанию 5

Обе части положительны, а логарифм по основанию 5 > 1 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Слева логарифм и степень взаимно уничтожаются, справа показатель степени выносится множителем.

\log_{5} 5^{\log_{x + 1} (3 x^{2} + 8 x + 4)} \geq \log_{5} {(x^{2} + 3 x + 2)}^{\log_{x + 1} 25}

\log_{x + 1} (3 x^{2} + 8 x + 4) \geq \log_{x + 1} 25 \cdot \log_{5} (x^{2} + 3 x + 2)

\log_{x + 1} 25 \cdot \log_{5} (x^{2} + 3 x + 2) =

= 2 \log_{x + 1} 5 \cdot \log_{5} (x^{2} + 3 x + 2) = 2 \log_{x + 1} (x^{2} + 3 x + 2)

\log_{x + 1} (3 x^{2} + 8 x + 4) \geq 2 \log_{x + 1} (x^{2} + 3 x + 2)

Вынесение показателя степени: logₐ(bⁿ) = n · logₐb, поэтому log₅5^A = A и log₅(B^C) = C · log₅B. Переход к одному основанию: 25 = 5², значит log_{x+1}25 = 2log_{x+1}5, а дальше работает цепное правило logₐb · log_b c = logₐc.

шаг 2.Метод рационализации

Обе части — логарифмы с одним основанием x + 1, но само основание зависит от x, поэтому просто снять логарифмы нельзя. Применяем метод рационализации: разность logₐf − logₐg имеет тот же знак, что произведение (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на области определения, поэтому сразу переходим к равносильной системе.

\log_{x + 1} (3 x^{2} + 8 x + 4) - \log_{x + 1} {(x^{2} + 3 x + 2)}^{2} \geq 0

⟺ {\begin{matrix} (x + 1 - 1) (3 x^{2} + 8 x + 4 - {(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}) \geq 0 & 1 \\ x + 1 > 0, x + 1 \neq 1 & 2 \\ 3 x^{2} + 8 x + 4 > 0 & 3 \end{matrix}

Коэффициент 2 вносим внутрь логарифма: 2log_{x+1}B = log_{x+1}B². Область при этом не расширяется — из ② следует x + 1 > 0 и x + 2 > 1, поэтому B = (x + 1)(x + 2) > 0. Ограничение ② — основание логарифма, ③ — его аргумент. Условие x² + 3x + 2 > 0 (основание степени справа) отдельной строкой не нужно: оно следует из ②.

шаг 3.Неравенство ①

Раскладываем оба трёхчлена на множители, выносим общую скобку (x + 2) и раскрываем то, что осталось.

1 x (3 x^{2} + 8 x + 4 - {(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}) \geq 0

x ((3 x + 2) (x + 2) - (x + 1)^{2} (x + 2)^{2}) \geq 0

x (x + 2) (3 x + 2 - (x + 1)^{2} (x + 2)) \geq 0

{(x + 1)}^{2} (x + 2) = (x^{2} + 2 x + 1) (x + 2) = x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2

3 x + 2 - (x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2) = - x^{3} - 4 x^{2} - 2 x = - x (x^{2} + 4 x + 2)

x (x + 2) \cdot (- x) (x^{2} + 4 x + 2) \geq 0

- x^{2} (x + 2) (x^{2} + 4 x + 2) \geq 0

Разложения: 3x² + 8x + 4 = (3x + 2)(x + 2) и x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) — проверяются раскрытием скобок. Общий множитель (x + 2) выносим из обоих слагаемых, дальше остаётся раскрыть куб. Минус перед x² трогать не нужно: знак расставится прямо в этой форме через пробную точку.

шаг 4.Корни трёхчлена и метод интервалов

Находим корни x² + 4x + 2 через дискриминант и раскладываем его на множители. Корни числителя: −2 − √2, −2, −2 + √2 и 0 — все закрашены (нестрогое ≥). Точка x = 0 — корень чётной кратности → петелька, знак через неё не меняется.

x^{2} + 4 x + 2 = 0

D = 4^{2} - 4 \cdot 2 = 16 - 8 = 8

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \begin{matrix} = - 2 + \sqrt{2} \\ = - 2 - \sqrt{2} \end{matrix}

x^{2} + 4 x + 2 = (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})

- x^{2} (x + 2) (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2}) \geq 0

Пробная точка x = 1 на интервале (0; +∞): −1 · 3 · (3 − √2)(3 + √2) = −3 · 7 = −21 < 0 — знак «−», через нечётные корни знаки чередуются. Точка x = 0 закрашена и входила бы в ответ изолированной точкой, но её уберёт ограничение ②. Решение ①: (−∞; −2 − √2] ∪ [−2; −2 + √2] ∪ {0}.

шаг 5.Ограничения ② и ③

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице; условие ③ — его аргумент положителен.

2 x + 1 > 0, x + 1 \neq 1

x > - 1, x \neq 0

3 3 x^{2} + 8 x + 4 > 0

(3 x + 2) (x + 2) > 0

Решение ②: x > −1 и x ≠ 0. Пробная точка для ③: x = 0 даёт (3 · 0 + 2)(0 + 2) = 4 > 0 — знак «+» на правом интервале, дальше знаки чередуются. Корни 2/3 со знаком минус и −2 выколоты (неравенство строгое). Решение ③: x < −2 или x > −2/3.

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③.

Ограничение ② отсекает весь левый луч и изолированную точку x = 0, оставляя от отрезка [−2; −2 + √2] только его правую часть. Ограничение ③ обрезает её слева до промежутка (−2/3; −2 + √2]. Проверка: при x = −0,6 основание логарифма 0,4 меньше единицы, а аргумент 3 · 0,36 − 4,8 + 4 = 0,28 — левая часть исходного неравенства оказывается больше правой.