условие
шаг 1.Область допустимых значений
Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма по основанию 4 положителен. Аргумент логарифма по основанию 3 положителен при любом x.
Условие 2 + cos πx > 0 выполнено при любом x: cos πx ≥ −1, поэтому 2 + cos πx ≥ 1 > 0. Условие x > 0 следует из 60 ≤ x ≤ 260 и отдельного ограничения не даёт. Пробная точка x = 0: (0 − 60)(260 − 0) = −15600 < 0 — знак «−» на левом интервале, чередование «−, +, −».
шаг 2.Оцениваем крайние множители
Косинус меняется от −1 до 1, поэтому логарифм по основанию 3 от 2 + cos πx лежит между 0 и 1, а первый множитель — между 0 и 1. Третий множитель — корень, он тоже неотрицателен. Значит оба крайних множителя неотрицательны.
Логарифм по основанию 3 > 1 возрастает: из 1 ≤ 2 + cos πx ≤ 3 следует log₃1 ≤ log₃(2 + cos πx) ≤ log₃3, то есть 0 ≤ … ≤ 1. x = 2n — это в точности чётные целые числа.
шаг 3.Разбираем произведение
Первый и третий множители неотрицательны, поэтому всё произведение ≤ 0 в двух случаях: либо один из них равен нулю (тогда произведение равно нулю), либо оба строго положительны и тогда решаем неравенство для второго множителя.
Числа 60 и 260 сами чётные, поэтому первая совокупность целиком сводится к одной серии x = 2n (внутри ОДЗ). В случае 2 первые два условия — это просто «x не чётное целое» и «x строго внутри ОДЗ»; отдельно решать их не нужно.
шаг 4.Второй множитель: замена t = log₄x
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
По теореме Виета для t² − 7t + 12 = 0: сумма корней должна равняться 7, произведение 12. Подбираем t₁ = 3 и t₂ = 4, отсюда t² − 7t + 12 = (t − 3)(t − 4). Пробная точка t = 0: (0 − 3)(0 − 4) = 12 > 0 — знак «+» на левом интервале, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≤).
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Границы 3 и 4 записываем как log₄4³ и log₄4⁴ — так все три части становятся логарифмами по одному основанию. 4³ = 64, 4⁴ = 256.
шаг 6.Собираем ответ
Случай 2 даёт отрезок [64; 256] без чётных целых точек, но все они возвращаются случаем 1 — вместе получается весь отрезок. Из случая 1 вне отрезка остаются только чётные целые 60, 62 слева и 258, 260 справа.
Чётные целые из [64; 256] уже лежат в самом отрезке, поэтому случай 1 добавляет только изолированные точки 60, 62, 258 и 260. Нечётные целые и любые нецелые числа между 60 и 64 (и между 256 и 260) не подходят: там второй множитель строго положителен, а крайние множители не равны нулю.