условие
шаг 1.Область допустимых значений
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Дискриминант отрицателен, значит уравнение x² − x + 2 = 0 корней не имеет и знаменатель не обращается в ноль ни при каком x. Остаётся единственное ограничение x + 10 > 0, то есть x > −10.
шаг 2.Знак знаменателя
Знак разности двух степеней с одинаковым основанием больше единицы совпадает со знаком разности показателей степени. Полученный трёхчлен положителен при всех x, поэтому знаменатель тоже всегда положителен — знак дроби задаёт только числитель.
Парабола y = x² − x + 2 ветвями вверх и без корней, поэтому целиком лежит выше оси абсцисс. Делить на положительное число знак неравенства не меняет, поэтому исходное неравенство равносильно неотрицательности числителя.
шаг 3.Первый множитель числителя
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
Слева от −2/3 множитель равен −4(x + 2): он положителен при x < −2 и отрицателен при −2 < x < −2/3. Справа от −2/3 множитель равен 2(x − 2): он отрицателен при x < 2 и положителен при x > 2. Итог: нули множителя — точки −2 и 2, между ними он отрицателен, снаружи положителен.
шаг 4.Второй множитель числителя
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Минус тройка — это log_{1/2}8, потому что (1/2)⁻³ = 8. Итог: второй множитель положителен при −10 < x < −2, равен нулю при x = −2 и отрицателен при x > −2.
шаг 5.Метод интервалов
Корни числителя: −2 и 2 — закрашены (нестрогое ≥). В точке x = −2 обращаются в ноль сразу оба множителя, суммарная кратность чётная → петелька: знак через неё не меняется, а сама точка входит в ответ. Точка −10 — граница ОДЗ, левее выражение не определено. Знаменатель нулей не имеет.