Задача 10151539 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы обоих логарифмов положительны, знаменатель не обращается в ноль. Оба квадратных трёхчлена раскладываем на множители и выносим общий модуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 4 > 0 \\ 13 - x > 0 \\ | x^{2} + 2 x - 3 | - | 2 x^{2} - 10 x + 8 | \neq 0 \end{matrix}

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1), 2 x^{2} - 10 x + 8 = 2 (x - 1) (x - 4)

| x + 3 | \cdot | x - 1 | - 2 | x - 1 | \cdot | x - 4 | = | x - 1 | \cdot (| x + 3 | - 2 | x - 4 |)

| x - 1 | = 0 ⟺ x = 1

| x + 3 | = 2 | x - 4 | ⟺ {(x + 3)}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}

{(x + 3)}^{2} - {(2 x - 8)}^{2} = 0

((x + 3) - (2 x - 8)) ((x + 3) + (2 x - 8)) = 0

(11 - x) (3 x - 5) = 0 ⟺ [\begin{matrix} x = 11 \\ x = \frac{5}{3} \end{matrix}

{\begin{matrix} - 4 < x < 13 \\ x \neq 1 \\ x \neq \frac{5}{3} \\ x \neq 11 \end{matrix}

По теореме Виета для x² + 2x − 3 = 0: сумма корней равна −2, произведение −3. Подбираем 1 и −3, отсюда x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1). Для x² − 5x + 4 = 0 сумма корней 5, произведение 4 — это 1 и 4, отсюда 2x² − 10x + 8 = 2(x − 1)(x − 4). Модуль произведения равен произведению модулей, поэтому общий множитель |x − 1| выносится за скобку. Обе части равенства |x + 3| = 2|x − 4| неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно; дальше сработала разность квадратов.

шаг 2.Сводим числитель к одному логарифму

Оба логарифма переводим к основанию 1945: у первого и основание, и аргумент — квадратные корни, у второго основание — обратное число.

\log_{\sqrt{1945}} \sqrt{x + 4} = \frac{\log_{1945} \sqrt{x + 4}}{\log_{1945} \sqrt{1945}} = \frac{\frac{1}{2} \log_{1945} (x + 4)}{\frac{1}{2}} = \log_{1945} (x + 4)

\log_{1945^{- 1}} (13 - x) = \frac{\log_{1945} (13 - x)}{\log_{1945} 1945^{- 1}} = - \log_{1945} (13 - x)

\log_{1945} (x + 4) - \log_{1945} (13 - x) = \log_{1945} \frac{x + 4}{13 - x}

Использована формула перехода к новому основанию и вынесение показателя степени 1/2 из-под логарифма: log√a = (1/2)·log a. В знаменателе второй дроби log₁₉₄₅1945⁻¹ = −1. Разность логарифмов с одним основанием свернулась в логарифм частного — оба аргумента положительны по ОДЗ.

шаг 3.Знак числителя

Основание 1945 больше единицы, логарифм возрастает, поэтому он положителен там, где аргумент больше единицы, и отрицателен там, где аргумент меньше единицы. Сравниваем аргумент с единицей.

\frac{x + 4}{13 - x} - 1 = \frac{(x + 4) - (13 - x)}{13 - x} = \frac{2 x - 9}{13 - x}

13 - x > 0 на ОДЗ, поэтому знак дроби — это знак 2 x - 9

2 x - 9 = 0 ⟺ x = 4,5

Итог: числитель отрицателен при x < 4,5, обращается в ноль при x = 4,5 и положителен при x > 4,5.

шаг 4.Раскрываем модули в знаменателе

Множитель |x − 1| неотрицателен и обращается в ноль только при x = 1, поэтому знак знаменателя задаёт вторая скобка. Раскрываем её модули по интервалам: критические точки −3 и 4.

| x + 3 | = {\begin{matrix} - (x + 3), & x < - 3 \\ x + 3, & x \geq - 3 \end{matrix}

| x - 4 | = {\begin{matrix} 4 - x, & x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{matrix}

- 4 < x < - 3 : - (x + 3) - 2 (4 - x) = x - 11

- 3 \leq x < 4 : (x + 3) - 2 (4 - x) = 3 x - 5

4 \leq x < 13 : (x + 3) - 2 (x - 4) = 11 - x

На промежутке (−4; −3) выражение x − 11 отрицательно, на промежутке [−3; 4) выражение 3x − 5 меняет знак в точке 5/3, на промежутке [4; 13) выражение 11 − x меняет знак в точке 11. Итог: скобка отрицательна на (−4; 5/3), положительна на (5/3; 11) и снова отрицательна на (11; 13).

шаг 5.Метод интервалов

Корень числителя: 4,5 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 5/3 и 11 — выколоты. Точка x = 1 — тоже разрыв, но множитель |x − 1| неотрицателен, поэтому знак через неё не меняется: выколота по ОДЗ, петелька. Концы −4 и 13 — границы ОДЗ, левее и правее выражение не определено.

Пробная точка x = 0 на интервале (−4; 1): числитель log₁₉₄₅(4/13) < 0, так как 4/13 < 1; знаменатель |−3| − |8| = 3 − 8 = −5 < 0. Дробь положительна — знак «+». Через точки 5/3, 4,5 и 11 знак меняется, через точку x = 1 — нет : слева направо получается «+, +, −, +, −». В ответ идут интервалы со знаком «+» вместе с закрашенным нулём числителя 4,5.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Сводим числитель к одному логарифму

шаг 3.Знак числителя

шаг 4.Раскрываем модули в знаменателе

шаг 5.Метод интервалов

ответ