шаг 1.Сводим к одной дроби

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель — логарифм. То, что осталось в скобке, приводим к общему знаменателю.

При умножении степеней с одинаковым основанием степени показатели степени складываются: 5^√x · 5^(1−√x) = 5¹ = 5. Поэтому 5^√x(5^(1−√x) − 1) = 5 − 5^√x, и числитель становится равен 4 − 5 + 5^√x = 5^√x − 1.

шаг 2.Метод рационализации

Числа сначала записываем в однотипном виде: 0 = log₂1 и 1 = 5⁰ — только тогда каждый множитель становится разностью, к которой применима формула. Ограничение ② — это подкоренное выражение. Условие 5^(1−√x) ≠ 1, то есть x ≠ 1, отдельной строкой не выписываем: это ровно точка разрыва дроби ①. Условие x + 0,5 > 0 тоже не нужно — оно следует из ②.

шаг 3.Неравенство ①

Вычисляем множитель (2 − 1) = 1 и сокращаем одинаковые множители (5 − 1) сверху и снизу. Затем ещё раз применяем метод рационализации — теперь к корням: √f − √g имеет тот же знак, что f − g.

Пробная точка x = 2 на интервале (1; +∞): (2 − 0,5) · 2/(1 − 2) = 3/(−1) = −3 < 0 — знак «−», через остальные корни знаки чередуются. Корни числителя 0 и 0,5 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва 1 выколота. Минус в скобке (1 − x) трогать не нужно: знак расставлен прямо в этой форме через пробную точку. Решение ①: [0; 0,5] ∪ (1; +∞).

шаг 4.Ограничение ② и пересечение

Условие ② — подкоренное выражение неотрицательно. Сводим обе оси в одну.

Ограничение ② ничего не отсекает: всё решение ① и так лежит правее нуля. Проверка: при x = 0 обе части исходного неравенства равны −1 — нестрогое ≤ выполнено как равенство.