Задача 10151535 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

| x - 2 |^{\log_{4} (x + 2) - \log_{2} x} \geq 1

шаг 1.Метод рационализации

Единицу справа записываем как |x − 2|⁰ — теперь обе части степени с одним основанием. Основание зависит от x, поэтому применяем метод рационализации: разность a^f − a^g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ②.

E = \log_{4} (x + 2) - \log_{2} x

{\begin{matrix} (| x - 2 | - 1) \cdot E \geq 0 & 1 \\ | x - 2 | > 0, x + 2 > 0, x > 0 & 2 \end{matrix}

Условие ② — основание степени положительно, аргументы обоих логарифмов положительны.

шаг 2.Раскрываем множители неравенства ①

Разность модулей рационализируем по формуле |f| − |g| ~ (f − g)(f + g). Показатель степени E приводим к одному логарифму: log₄ A — это половина log₂ A.

| x - 2 | - 1 = | x - 2 | - | 1 | \to (x - 2 - 1) (x - 2 + 1) = (x - 3) (x - 1)

E = \frac{1}{2} \log_{2} (x + 2) - \log_{2} x = \frac{1}{2} \log_{2} \frac{x + 2}{x^{2}}

\frac{x + 2}{x^{2}} - 1 = \frac{x + 2 - x^{2}}{x^{2}} = \frac{- (x - 2) (x + 1)}{x^{2}}

1 (x - 3) (x - 1) \cdot \frac{- (x - 2) (x + 1)}{x^{2}} \geq 0

log₄ A = log₂ A / log₂ 4 = (1/2) log₂ A, а разность логарифмов — логарифм частного: (1/2)log₂(x + 2) − log₂ x = (1/2)(log₂(x + 2) − log₂ x²). Проверка по Виета: для x² − x − 2 сумма корней должна равняться 1, произведение — −2. У нас 2 + (−1) = 1 и 2 · (−1) = −2 — оба сходятся.

шаг 3.Неравенство ①

На ОДЗ множители x² и x + 1 строго положительны, поэтому на знак они не влияют. Умножаем обе части на −1.

(x - 3) (x - 1) (x - 2) \leq 0

Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤». Все три корня закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 1,5 на интервале (1; 2): (1,5 − 3)(1,5 − 1)(1,5 − 2) = (−1,5) · 0,5 · (−0,5) = 0,375 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 1] ∪ [2; 3].

шаг 4.Ограничение ②

Основание степени положительно, аргументы логарифмов положительны. Самое сильное условие — x > 0.

2 x \neq 2, x > - 2, x > 0

x > 0, x \neq 2

Основание |x − 2| обращается в ноль при x = 2 — эта точка выколота. Решение ②: (0; 2) ∪ (2; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим две оси в одну. Ограничение ② обрезает левый луч по нулю и открывает границу x = 2.

Точки x = 1 и x = 3 дают основание, равное единице: там левая часть равна 1, и нестрогое неравенство выполняется. Проверка: x = 0,5 ⇒ основание 1,5, показатель степени ≈ 1,66, значит 1,5^{1,66} ≈ 1,96 ≥ 1 ✓. Проверка: x = 2,5 ⇒ основание 0,5, показатель степени ≈ −0,24, значит 0,5^{−0,24} ≈ 1,18 ≥ 1 ✓. Проверка: x = 4 ⇒ основание 2, показатель степени ≈ −0,71, значит 2^{−0,71} ≈ 0,61 < 1 — точка не подходит ✓.

ответ

x \in (0; 1] \cup (2; 3]