условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифмов положителен, знаменатель дроби не обращается в ноль.
Основание 3 больше единицы, логарифм возрастает, поэтому log₃√(2x + 1) = −1 равносильно √(2x + 1) = 3⁻¹ = 1/3. Возводя обе части в квадрат, получаем 2x + 1 = 1/9, то есть x = −4/9. Точка −4/9 лежит правее −1/2, поэтому оба ограничения существенны.
шаг 2.Замена переменной
В числителе и в знаменателе стоит один и тот же логарифм, записанный по-разному. Сводим оба к половине логарифма по основанию 3 — тогда всё выражение зависит от одной величины.
В первой строке использована формула перехода к новому основанию, во второй — вынесение показателя степени 1/2 из-под логарифма. Ограничение t ≠ −1 — это переписанное условие ОДЗ «знаменатель не равен нулю».
шаг 3.Сводим к одной дроби
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
Единицу записали как дробь со знаменателем t + 1, поэтому в числителе к |t| − 2 добавилось t + 1.
шаг 4.Случай 1: t ≥ 0
Здесь |t| = t, числитель становится линейным. Решаем неравенство методом интервалов и пересекаем с условием случая.
Корень числителя: 1/2 — выколот (неравенство строгое). Точка разрыва знаменателя: −1 — выколота. Пробная точка t = 1 на интервале (1/2; +∞): (2 · 1 − 1)/(1 + 1) = 1/2 > 0 — знак «+», дальше знаки чередуются: «+, −, +». В решение идёт интервал со знаком «−», то есть (−1; 1/2); пересечение с условием t ≥ 0 даёт [0; 1/2).
шаг 5.Случай 2: t < 0
Здесь |t| = −t, и переменные в числителе взаимно уничтожаются: остаётся постоянное число −1. Числитель отрицателен, значит дробь отрицательна ровно тогда, когда знаменатель положителен.
Пробная точка t = 0 на интервале (−1; +∞): −1/(0 + 1) = −1 < 0 — знак «−», левее точки −1 знак «+». Пересечение решения t > −1 с условием случая t < 0 даёт интервал (−1; 0).
шаг 6.Объединение случаев
Случаи разбирались по знаку t, поэтому их результаты объединяем. Промежутки стыкуются в точке t = 0, которая входит в первый случай.
В первом случае получили [0; 1/2), во втором — (−1; 0). Точка t = 0 закрашена в первом случае, поэтому промежутки склеиваются без разрыва: t ∈ (−1; 1/2).
шаг 7.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Границы записаны как степени девятки: 9⁻¹ = 1/9 и 9^(1/2) = √9 = 3. Оба конца выколоты: при x = −4/9 знаменатель исходной дроби обращается в ноль, при x = 1 неравенство превращается в равенство. Весь найденный промежуток лежит правее −1/2, поэтому первое условие ОДЗ ничего не отсекает.