Задача 10151533 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно. Логарифм двухслойный: аргумент внутреннего логарифма положителен, а сам внутренний логарифм — аргумент внешнего — строго положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + \frac{2}{3} \geq 0 \\ | 1 + x | > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | > 0 \end{matrix}

| 1 + x | > 0 ⟺ x \neq - 1

\log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | > 0

\log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | > \log_{\frac{1}{2}} 1

| 1 + x | < 1 ⟺ - 1 < 1 + x < 1

- 2 < x < 0

Основание внутреннего логарифма 1/2 меньше единицы — логарифм убывает, поэтому log_{1/2}|1 + x| > log_{1/2}1 равносильно |1 + x| < 1. Условие |1 + x| > 0 (то есть x ≠ −1) выполняется автоматически: точка −1 лежит левее −2/3, а первое условие даёт x ≥ −2/3. Итог: x ∈ [−2/3; 0).

шаг 2.Разбираем произведение

Первый множитель — арифметический корень, он неотрицателен на всём ОДЗ. Произведение неположительно ровно в двух ситуациях: либо корень равен нулю, либо корень положителен и тогда второй множитель неположителен.

1) \sqrt{x + \frac{2}{3}} = 0 ⟺ x = - \frac{2}{3}

2) {\begin{matrix} x > - \frac{2}{3}, корень строго положителен \\ \log_{2} \log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | \leq 0 \end{matrix}

Точка x = −2/3 входит в ОДЗ и обращает всё произведение в ноль, поэтому она попадает в ответ. В случае 2 корень положителен, поэтому на него можно разделить: неравенство равносильно условию на второй множитель.

шаг 3.Случай 2: снимаем логарифмы

Записываем ноль как логарифм с основанием 2 — оно больше единицы, логарифм возрастает, знак сохраняется. Дальше снимаем внутренний логарифм: его основание 1/2 меньше единицы, и знак переворачивается.

\log_{2} \log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | \leq 0

\log_{2} \log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | \leq \log_{2} 1

\log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | \leq 1

\log_{\frac{1}{2}} | 1 + x | \leq \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}

| 1 + x | \geq \frac{1}{2}

Единицу в правой части записали как log_{1/2}(1/2) — это степень основания с показателем 1. Ограничение log_{1/2}|1 + x| > 0 из ОДЗ никуда не делось: вместе с полученным ≤ 1 оно даёт 0 < log_{1/2}|1 + x| ≤ 1.

шаг 4.Раскрываем модуль

Модуль не меньше числа — подмодульное выражение лежит вне отрезка. Записываем совокупность из двух ветвей.

| 1 + x | \geq \frac{1}{2} ⟺ [\begin{matrix} 1 + x \geq \frac{1}{2} \\ 1 + x \leq - \frac{1}{2} \end{matrix}

[\begin{matrix} x \geq - \frac{1}{2} \\ x \leq - \frac{3}{2} \end{matrix}

Из обеих ветвей вычли единицу: из 1 + x ≥ 1/2 получаем x ≥ −1/2, из 1 + x ≤ −1/2 получаем x ≤ −3/2.

шаг 5.Объединение случаев

Решение случая 2 пересекаем с ОДЗ, затем добавляем точку x = −2/3 из случая 1.

Ветвь x ≤ −3/2 целиком лежит левее ОДЗ и полностью отсекается. Ветвь x ≥ −1/2 пересекается с ОДЗ [−2/3; 0) и даёт отрезок [−1/2; 0). Точка x = −2/3 остаётся в ответе изолированной: соседние точки промежутка (−2/3; −1/2) в решение не входят, а сама она обращает корень, а значит и всё произведение, в ноль.