В числителе — корень, степень и квадрат логарифма, в знаменателе — снова степень. Применяем метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: каждую разность заменяем произведением того же знака. Замена сохраняет знак только на области определения, поэтому сразу переходим к равносильной системе.
Числа сначала записываем в однотипном виде: 0 = √0, 81 = 3⁴, 0 = log₀,₅1 и 720 = 3^(log₃720) — только тогда каждый множитель становится разностью, к которой применима формула.
Квадрат логарифма рационализируется как квадрат самой разности: обе величины неотрицательны и обращаются в ноль в одной и той же точке.
Ограничения ② и ③ — это область определения: подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен. Условие 3ˣ ≠ 720 отдельной строкой не выписываем: это ровно точка разрыва дроби ①.
шаг 2.Неравенство ①
Вычисляем числовые множители: (3 − 1) = 2 сверху и снизу, (0,5 − 1)² = 0,25. Двойки сокращаются, положительный коэффициент 0,25 на знак не влияет и остаётся в числителе.
Пробная точка x = 3 на интервале (2; 4): 0,25 · (3 − 2)(4 − 3)(5 − 3)²/(3 − log₃720) = 1/(отрицательное) < 0 — знак «−»; через 3ˣ = 720 и через 2 и 4 знаки чередуются.
Корни числителя 2, 4 и 5 закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва log₃720 выколота.
Точка x = 5 — корень чётной кратности → петелька, знак через неё не меняется; она входит в ответ изолированной точкой.
Решение ①: [2; 4] ∪ {5} ∪ (log₃720; +∞).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 3.Ограничения ② и ③
Условие ② — подкоренное выражение неотрицательно; условие ③ — аргумент логарифма положителен.
Решение ②: x ≥ 2 (точка 2 закрашена — под корнем допускается ноль). Решение ③: x < 6.
Важно, что log₃720 < 6: 3⁶ = 729 > 720, поэтому точка разрыва лежит внутри промежутка ③, а не за ним. Заодно log₃720 > 5, потому что 3⁵ = 243 < 720.
шаг 4.Пересечение
Сводим три оси в одну — берём пересечение решений ①, ② и ③.
Ограничение ② ничего не отсекает: всё решение ① и так лежит правее двойки.
Ограничение ③ обрезает правый луч (log₃720; +∞) до промежутка (log₃720; 6).
Проверка: при x = 3 числитель положителен, а 3³ − 720 = 27 − 720 < 0 — дробь отрицательна, точка входит в ответ.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
ответ
Сайт использует файлы cookie и локальное хранилище браузера. Технически необходимые помнят ваш выбор — отмеченные сердечком задачи, просмотренные задачи, настройки отображения; всё это остаётся в вашем браузере и никуда не передаётся. Аналитические включаются только с вашего согласия и собирают обезличенную статистику посещений. Подробнее и об отзыве согласия — в разделе 8 оферты.