Задача 10151516 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма положительно всегда, но не должно равняться единице. В числителе аргумента сворачиваем полный квадрат — сразу видно, где аргумент положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{| 4 x + 1 |} \neq 1 \\ \frac{3^{2 x + 1} - 2 \cdot 3^{x + 1} + 3}{4} > 0 \end{matrix}

3^{2 x + 1} - 2 \cdot 3^{x + 1} + 3 = 3 \cdot 3^{2 x} - 6 \cdot 3^{x} + 3 =

= 3 ({(3^{x})}^{2} - 2 \cdot 3^{x} + 1) = 3 {(3^{x} - 1)}^{2}

{\begin{matrix} | 4 x + 1 | \neq 0 \\ \frac{3 {(3^{x} - 1)}^{2}}{4} > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 0,25 \\ x \neq 0 \end{matrix}

Единица — это 3⁰, а равные степени с основанием степени 3 дают равные показатели степени: 3^|4x+1| = 1 ⟺ |4x + 1| = 0 ⟺ x = −0,25. Квадрат разности неотрицателен при любом x и обращается в нуль лишь при 3ˣ = 1, то есть при x = 0. Поэтому весь аргумент положителен ровно при x ≠ 0.

шаг 2.Потенцируем

Правую часть записываем логарифмом с тем же основанием — тогда обе части станут логарифмами. Основание 3^|4x+1| больше единицы, потому что показатель степени |4x + 1| строго положителен по ОДЗ, а логарифм с основанием больше единицы возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.

| 4 x + 1 | > 0

3^{| 4 x + 1 |} > 3^{0}

3^{| 4 x + 1 |} > 1

\log_{3^{| 4 x + 1 |}} 3^{x} = \frac{\log_{3} 3^{x}}{\log_{3} 3^{| 4 x + 1 |}} = \frac{x}{| 4 x + 1 |}

\log_{3^{| 4 x + 1 |}} (\frac{3 {(3^{x} - 1)}^{2}}{4}) \leq \log_{3^{| 4 x + 1 |}} 3^{x}

\frac{3 {(3^{x} - 1)}^{2}}{4} \leq 3^{x}

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: с обеих частей снимаются логарифмы с одинаковым основанием. Формула перехода к новому основанию логарифма: log_c b = logₐb : logₐc. Здесь log₃3ˣ = x и log₃3^|4x+1| = |4x + 1|. Положительность аргумента уже записана в ОДЗ, лишних решений не появится.

шаг 3.Замена t = 3ˣ

Вводим показательную функцию как новую переменную: t > 0, так как степень с положительным основанием степени всегда положительна.

t = 3^{x}, t > 0

\frac{3 {(t - 1)}^{2}}{4} \leq t

3 {(t - 1)}^{2} \leq 4 t

3 t^{2} - 6 t + 3 \leq 4 t

3 t^{2} - 10 t + 3 \leq 0

3 t^{2} - 10 t + 3 = 0

D = {(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64

t = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \begin{matrix} = 3 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

3 (t - 3) (t - \frac{1}{3}) \leq 0

Обе части умножены на 4 > 0 — знак неравенства сохраняется. Пробная точка t = 0: 3(0 − 3)(0 − 1/3) = 3 > 0 — знак «+» на левом интервале, дальше знаки чередуются «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Выноска от нуля — условие замены t = 3ˣ > 0. Оба корня положительны, поэтому оно ничего не отсекает.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем обратно t = 3ˣ. Функция 3ˣ возрастает (основание степени 3 > 1), поэтому знак неравенства сохраняется.

\frac{1}{3} \leq t \leq 3

\frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 3

3^{- 1} \leq 3^{x} \leq 3^{1}

- 1 \leq x \leq 1

1/3 = 3⁻¹, 3 = 3¹ — обе границы записаны степенями с основанием степени 3, поэтому основание снимается сразу.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Из отрезка [−1; 1] выбрасываем две точки ОДЗ: при x = 0 аргумент логарифма обращается в нуль, при x = −0,25 основание логарифма равно единице.

Обе выколотые точки лежат внутри отрезка [−1; 1], поэтому он распадается на три промежутка.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Потенцируем

шаг 3.Замена t = 3ˣ

шаг 4.Обратная замена

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

ответ