Задача 10151514 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, основание степени |x| — тоже.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} > 0 \\ | x | > 0 \\ 3 x + 4 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x > - \frac{4}{3} \end{matrix}

Степень с произвольным действительным показателем степени определена только при положительном основании степени, поэтому нужно |x| > 0. Условия x² > 0 и |x| > 0 равносильны одному и тому же x ≠ 0.

шаг 2.Оба слагаемых слева одинаковы

В первом слагаемом отделяем множитель 2. Во втором записываем |x| по основному логарифмическому тождеству как 3 в степени log₃|x| — после этого множители в показателе степени можно поменять местами.

2^{1 + \log_{3} x^{2}} = 2 \cdot 2^{\log_{3} x^{2}}

| x |^{\log_{3} 4} = {(3^{\log_{3} | x |})}^{\log_{3} 4} = 3^{\log_{3} | x | \cdot \log_{3} 4} =

= {(3^{\log_{3} 4})}^{\log_{3} | x |} = 4^{\log_{3} | x |}

4^{\log_{3} | x |} = {(2^{2})}^{\log_{3} | x |} = 2^{2 \log_{3} | x |} = 2^{\log_{3} x^{2}}

2^{1 + \log_{3} x^{2}} + 2 \cdot | x |^{\log_{3} 4} = 4 \cdot 2^{\log_{3} x^{2}}

Основное логарифмическое тождество: a в степени logₐb равно b (при b > 0). 2 log₃|x| = log₃|x|² = log₃x² — под чётной степенью модуль исчезает. Оба слагаемых левой части оказались равны 2 · 2^(log₃x²), в сумме получается учетверённая степень.

шаг 3.Приводим правую часть к основанию степени 2

Основание логарифма 1/3 — это 3⁻¹, поэтому этот логарифм отличается от log₃ только знаком. Само основание степени 1/2 — это 2⁻¹, и два минуса в показателе степени дают плюс.

\frac{1}{3} = 3^{- 1} ⟹ \log_{\frac{1}{3}} (3 x + 4) = - \log_{3} (3 x + 4)

{(\frac{1}{2})}^{\log_{\frac{1}{3}} (3 x + 4)} = {(2^{- 1})}^{- \log_{3} (3 x + 4)} = 2^{\log_{3} (3 x + 4)}

4 \cdot 2^{\log_{3} x^{2}} \leq 4 \cdot 2^{\log_{3} (3 x + 4)}

Переход к новому основанию логарифма: log_{aᵏ}b = (1/k) · logₐb. При k = −1 получаем log_{1/a}b = −logₐb.

шаг 4.Снимаем основание степени

Делим обе части на 4 > 0 и сравниваем показатели степени: функция 2ᵗ возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому знак неравенства сохраняется.

4 \cdot 2^{\log_{3} x^{2}} \leq 4 \cdot 2^{\log_{3} (3 x + 4)} | : 4

2^{\log_{3} x^{2}} \leq 2^{\log_{3} (3 x + 4)}

\log_{3} x^{2} \leq \log_{3} (3 x + 4)

шаг 5.Снимаем логарифм и решаем неравенство

Логарифм по основанию 3 > 1 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Положительность обоих аргументов уже записана в ОДЗ, лишних решений не появится.

\log_{3} x^{2} \leq \log_{3} (3 x + 4)

x^{2} \leq 3 x + 4

x^{2} - 3 x - 4 \leq 0

(x + 1) (x - 4) \leq 0

По теореме Виета для x² − 3x − 4 = 0: сумма корней равна 3, произведение равно −4. Подбираем x₁ = −1 и x₂ = 4, отсюда x² − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4). Пробная точка x = 0: (0 + 1)(0 − 4) = −4 < 0 — знак «−» на среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤).

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Из отрезка [−1; 4] выбрасываем точку x = 0 — там не определены ни log₃x², ни степень с основанием степени |x|. Условие x > −4/3 выполняется автоматически.

Граница ОДЗ x = −4/3 лежит левее отрезка [−1; 4] и на ответ не влияет. Точка x = 0 лежит внутри отрезка, поэтому он распадается на два промежутка.

условие