Задача 10151507 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Логарифм определён только при положительном аргументе.

ОДЗ

x + 1 > 0 ⟺ x > - 1

шаг 2.Под модулем и в правой части — одно выражение

Модуль не меняется при смене знака подмодульного выражения, поэтому |6 − 7ˣ| = |7ˣ − 6|. Дальше всё решает знак множителя 7ˣ − 6: функция 7ᵗ возрастает (основание степени 7 > 1), поэтому она равна 6 ровно в одной точке.

| 6 - 7^{x} | = | 7^{x} - 6 |

| 7^{x} - 6 | \leq (7^{x} - 6) \cdot \log_{6} (x + 1)

7^{x} - 6 = 0 ⟺ 7^{x} = 6 ⟺ x = \log_{7} 6

Определение модуля: |a| = |−a|, поэтому знак выражения под модулем можно поменять на противоположный. Точка деления: 7⁰ = 1 < 6 < 7 = 7¹, поэтому 0 < log₇6 < 1 (приближённо 0,92). Дальше разбираем три случая: 7ˣ = 6, 7ˣ > 6 и 7ˣ < 6.

шаг 3.Случай 1: 7ˣ = 6

Обе части обращаются в нуль, поэтому неравенство выполняется как равенство.

7^{x} = 6 ⟺ x = \log_{7} 6

| 7^{x} - 6 | = 0, (7^{x} - 6) \cdot \log_{6} (x + 1) = 0

0 \leq 0

Точка x = log₇6 лежит в ОДЗ: log₇6 > 0 > −1. В ответ она войдёт изолированной точкой: соседние значения x попадают уже в случай 2 или 3 и там неравенству не удовлетворяют.

шаг 4.Случай 2: 7ˣ > 6

Множитель 7ˣ − 6 положителен, модуль раскрывается со знаком «плюс». Делим обе части на 7ˣ − 6 > 0 — знак неравенства сохраняется. Единицу пишем как log₆6 и снимаем логарифм: основание 6 > 1, логарифм возрастает, знак сохраняется.

7^{x} > 6 ⟺ x > \log_{7} 6

| 7^{x} - 6 | = 7^{x} - 6

7^{x} - 6 \leq (7^{x} - 6) \cdot \log_{6} (x + 1) | : (7^{x} - 6)

1 \leq \log_{6} (x + 1)

\log_{6} 6 \leq \log_{6} (x + 1)

6 \leq x + 1

x \geq 5

Условие ОДЗ x > −1 здесь выполняется автоматически: x ≥ 5. log₇6 < 1 < 5, поэтому пересечение с условием случая ничего не отрезает. Проверка при x = 5: слева |6 − 7⁵| = 16 801, справа (7⁵ − 6) · log₆6 = 16 801 · 1 = 16 801 — равенство, точка входит в ответ.

шаг 5.Случай 3: 7ˣ < 6

Множитель 7ˣ − 6 отрицателен, модуль раскрывается со знаком «минус». Делим обе части на отрицательное число 7ˣ − 6 — знак неравенства переворачивается. Число −1 пишем как log₆(1/6) и снимаем логарифм, основание 6 > 1 — знак сохраняется.

7^{x} < 6 ⟺ x < \log_{7} 6

| 7^{x} - 6 | = - (7^{x} - 6)

- (7^{x} - 6) \leq (7^{x} - 6) \cdot \log_{6} (x + 1) | : (7^{x} - 6)

- 1 \geq \log_{6} (x + 1)

\log_{6} \frac{1}{6} \geq \log_{6} (x + 1)

\frac{1}{6} \geq x + 1

0 < x + 1 \leq \frac{1}{6}

- 1 < x \leq - \frac{5}{6}

Число −1 записываем логарифмом того же основания: log₆(1/6) = −1, потому что 6⁻¹ = 1/6. Левое ограничение x + 1 > 0 — это ОДЗ: аргумент логарифма положителен. Проверка при x = −5/6: аргумент логарифма равен 1/6, log₆(1/6) = −1; слева |6 − 7^(−5/6)| ≈ 5,80, справа (7^(−5/6) − 6) · (−1) ≈ 5,80 — равенство.

шаг 6.Объединяем случаи

Случай 1 дал изолированную точку x = log₇6, случай 2 — луч x ≥ 5, случай 3 — промежуток от −1 до −5/6. Три множества не пересекаются, объединяем их.

Точка log₇6 закрашена и стоит отдельно — вокруг неё неравенство не выполняется. Точка −1 выколота по ОДЗ, точки −5/6 и 5 закрашены: в них достигается равенство.