условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны, знаменатели не обращаются в ноль. Аргумент правого логарифма — чётная степень, она положительна везде, кроме нуля своего основания.
Чётная степень (−x² − 4x + 4)⁶ неотрицательна при любом x и равна нулю лишь при −x² − 4x + 4 = 0, поэтому условие «> 0» равносильно x² + 4x − 4 ≠ 0 — оно уже содержится в более сильном x² + 4x − 4 > 0. Пробная точка x = 0 для I условия: 0 + 0 − 4 = −4 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Итог: x ∈ (−∞; −2 − 2√2) ∪ (−2 + 2√2; 2) ∪ (2; +∞).
шаг 2.Упрощаем правый логарифм
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Вынос чётного показателя степени: log₈ b⁶ = 6 log₈ |b|. Модуль обязателен — шестая степень определена и при отрицательном b. По ОДЗ x² + 4x − 4 > 0, поэтому |x² + 4x − 4| = x² + 4x − 4.
шаг 3.Выносим логарифм за скобку
Переносим правую дробь влево: в обоих слагаемых есть общий множитель log₈(x² + 4x − 4). Выносим его — знак произведения определяют знак логарифма и знак скобки. Скобка зависит от того, как раскроется модуль, поэтому дальше разбираем два случая.
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения: при x > 2 это x − 2, при x < 2 — противоположное ему 2 − x. Значение x = 2 исключено ОДЗ, третьего случая нет.
шаг 4.Случай 1: x > 2
Модуль раскрывается как x − 2, обе дроби в скобке получают общий знаменатель, и скобка сворачивается.
По теореме Виета для x² + x − 6 = 0: сумма корней равна −1, произведение равно −6. Подбираем x₁ = −3 и x₂ = 2, отсюда x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). Сокращение (x − 2) допустимо: на этом промежутке x > 2, поэтому x − 2 > 0 — делитель не равен нулю, корень не теряем.
шаг 5.Случай 2: x < 2
Модуль раскрывается как 2 − x, то есть противоположное к x − 2. Приводим дроби к общему знаменателю x − 2 и оцениваем знак получившейся дроби.
У трёхчлена x² + x + 6 старший коэффициент положителен, а дискриминант отрицателен — значит он положителен при любом x. Минус перед дробью и отрицательный знаменатель дают в итоге положительную скобку.
шаг 6.Остаётся неравенство с логарифмом
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
По теореме Виета для x² + 4x − 5 = 0: сумма корней равна −4, произведение равно −5. Подбираем x₁ = −5 и x₂ = 1, отсюда x² + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1). Пробная точка x = 0: (0 + 5)(0 − 1) = −5 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥).
шаг 7.Пересечение с ОДЗ
Полученное решение пересекаем с ОДЗ. Луч x ≤ −5 лежит левее точки −2 − 2√2 и целиком входит в ОДЗ, а точка x = 2 из ОДЗ выколота и разрывает правый луч.
Точка −5 лежит левее −2 − 2√2 ≈ −4,83, поэтому весь луч x ≤ −5 попадает в ОДЗ и остаётся закрашенным. Точка 1 правее −2 + 2√2 ≈ 0,83 — она в ОДЗ и остаётся закрашенной. Точка x = 2 выколота по ОДЗ (там оба знаменателя обращаются в ноль), поэтому луч x ≥ 1 распадается на [1; 2) и (2; +∞).