условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен. Выделяем в нём полный квадрат — тогда сразу видно, где он положителен.
Стороны неравенства поменяли местами, поэтому знак «>» стал «<»: слагаемые переехали со своими знаками, ни на что не умножали. Полный квадрат: x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. Снятие модуля: |x − 3| < √2 ⟺ −√2 < x − 3 < √2.
шаг 2.Оцениваем степень
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Степень с положительным основанием всегда положительна, поэтому первый множитель строго больше нуля и не больше единицы. Равенство достигается только при |x − 3| = 0, то есть при x = 3.
шаг 3.Оцениваем логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Равенство достигается только при (x − 3)² = 0, то есть при x = 3.
шаг 4.Соединяем оценки
Первый множитель положителен и не больше 1, второй не больше 1. Значит произведение не больше 1: при отрицательном логарифме оно отрицательно, при положительном — не больше 1 · 1. Поэтому неравенство «произведение ≥ 1» выполняется только как равенство, а для этого оба множителя обязаны равняться единице.
Равенство произведения единице возможно только когда оба множителя равны 1: если один строго меньше 1, а второй положителен и не больше 1, произведение строго меньше 1. Проверка: при x = 3 степень равна 7⁰ = 1, аргумент логарифма 6 · 3 − 3² − 7 = 2, логарифм log₂2 = 1, произведение равно 1 — нестрогое ≥ выполнено как равенство. Точка x = 3 лежит внутри ОДЗ: 3 − √2 < 3 < 3 + √2.