шаг 1.Раскладываем аргумент третьего логарифма

Трёхчлен −2x² + 7x − 3 разлагается ровно в произведение двух других аргументов, поэтому третий логарифм — это сумма первых двух.

Проверка раскрытием: (2x − 1)(3 − x) = 6x − 2x² − 3 + x = −2x² + 7x − 3 ✓.

шаг 2.Сворачиваем числитель

Обозначим p = log_x(2x − 1) и q = log_x(3 − x). Числитель принимает вид pq + 1 − p − q и раскладывается на два множителя группировкой.

Группировка: pq − p + 1 − q = p(q − 1) − (q − 1) = (p − 1)(q − 1).

шаг 3.Метод рационализации

Условие ② — основание x положительно и не равно единице, оба аргумента положительны. Знаменатель дроби в ноль не обращается: точки x = 2 и x = −1 остаются выколотыми на оси.

шаг 4.Неравенство ①

Три одинаковых множителя (x − 1) собираются в куб: кратность нечётная, поэтому знак через точку x = 1 меняется.

Корни числителя 1 и 1,5 закрашены (нестрогое ≤), точки разрыва −1 и 2 выколоты. Пробная точка x = 1,2 на интервале (1; 1,5): (0,2)³(3 − 2,4)/((1,2 − 2)(1,2 + 1)) = 0,0048/(−1,76) ≈ −0,003 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −1) ∪ [1; 1,5] ∪ (2; +∞).

шаг 5.Ограничение ②

Собираем ОДЗ: основание положительно и не равно единице, оба аргумента положительны.

Условие x > 0,5 сильнее условия x > 0 и поглощает его. Решение ②: (0,5; 1) ∪ (1; 3).

шаг 6.Пересечение

Сводим две оси в одну. Ограничение ② выкалывает закрытую границу x = 1 и обрезает правый луч точкой 3, а левый луч решения ① целиком выпадает.

Проверка: x = 1,2 ⇒ числитель ≈ 1,88, знаменатель ≈ −7,71, дробь ≈ −0,24 ≤ 0 ✓. Проверка: x = 2,5 ⇒ числитель ≈ −0,90, знаменатель ≈ 50,2, дробь ≈ −0,02 ≤ 0 ✓. Проверка: x = 1,7 ⇒ числитель ≈ −0,33, знаменатель ≈ −5,28, дробь ≈ 0,06 > 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.