Задача 10151462 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{x^{2} - 12 x + 30}{10}} (\log_{2} \frac{2 x}{5}) > 0

шаг 1.Метод рационализации

Основание зависит от x, поэтому ноль справа записываем как логарифм единицы и применяем метод рационализации: logₐ f имеет тот же знак, что (a − 1)(f − 1). Внутренний логарифм тоже рационализируем: log₂(2x/5) − 1 = log₂(x/5) имеет тот же знак, что x/5 − 1. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

\frac{x^{2} - 12 x + 30}{10} - 1 = \frac{x^{2} - 12 x + 20}{10} = \frac{(x - 2) (x - 10)}{10}

\log_{2} \frac{2 x}{5} - 1 = \log_{2} \frac{x}{5}

\frac{x}{5} - 1 = \frac{x - 5}{5}

{\begin{matrix} (x - 2) (x - 10) (x - 5) > 0 & 1 \\ \frac{x^{2} - 12 x + 30}{10} > 0, \frac{x^{2} - 12 x + 30}{10} \neq 1 & 2 \\ \log_{2} \frac{2 x}{5} > 0 & 3 \end{matrix}

Положительные знаменатели 10 и 5 на знак не влияют и в ① не переносятся. Условие ② — основание внешнего логарифма положительно и не равно единице, условие ③ — его аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Все три корня выколоты (строгое >).

1 (x - 2) (x - 5) (x - 10) > 0

Пробная точка x = 3 на интервале (2; 5): (3 − 2)(3 − 5)(3 − 10) = 1 · (−2) · (−7) = 14 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (2; 5) ∪ (10; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Основание внешнего логарифма положительно и не равно единице. Трёхчлен в числителе раскладываем через дискриминант.

2 x^{2} - 12 x + 30 > 0, x^{2} - 12 x + 20 \neq 0

D = {(- 12)}^{2} - 4 \cdot 30 = 144 - 120 = 24

x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{12 \pm 2 \sqrt{6}}{2} \begin{matrix} = 6 + \sqrt{6} \\ = 6 - \sqrt{6} \end{matrix}

Трёхчлен x² − 12x + 30 положителен вне корней 6 ± √6. В единицу основание обращается при x² − 12x + 20 = 0, то есть при x = 2 и x = 10 — эти точки тоже выколоты. Решение ②: (−∞; 2) ∪ (2; 6 − √6) ∪ (6 + √6; 10) ∪ (10; +∞).

шаг 4.Ограничение ③

Аргумент внешнего логарифма положителен: 2x/5 должно быть больше единицы.

3 \log_{2} \frac{2 x}{5} > 0

\frac{2 x}{5} > 1

x > 2,5

Условие 2x/5 > 0 слабее и в итог не попадает. Решение ③: x > 2,5.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② обрезает интервал (2; 5) справа точкой 6 − √6, а ограничение ③ поднимает его левую границу до 2,5. Луч (10; +∞) проходит все ограничения целиком.

Проверка: x = 3 ⇒ основание 0,3 < 1, аргумент log₂ 1,2 ≈ 0,26 < 1, значит внешний логарифм положителен ✓. Проверка: x = 11 ⇒ основание 1,9 > 1, аргумент log₂ 4,4 ≈ 2,14 > 1, логарифм положителен ✓. Проверка: x = 9 ⇒ основание 0,3, аргумент log₂ 3,6 ≈ 1,85 > 1, логарифм отрицателен — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (2,5; 6 - \sqrt{6}) \cup (10; + \infty)