шаг 1.Упрощаем скобку

Первое и четвёртое слагаемые в скобке взаимно уничтожаются: обратный логарифм даёт log₅(4 − x), а логарифм по основанию 0,2 раскладывается в −1 − log₅(4 − x).

log₀,₂ A = log_{1/5} A = −log₅ A, а 20 − 5x = 5(4 − x), поэтому log₅(5(4 − x)) = 1 + log₅(4 − x).

шаг 2.Собираем множитель (x − 3)

Раскрываем скобку и переносим всё влево: алгебраические слагаемые складываются в −2(x − 3), и общий множитель выносится.

Оба слагаемых содержат множитель (x − 3), поэтому его выносим за скобку.

шаг 3.Метод рационализации

Проверка по Виета: для x² + 3x − 40 сумма корней должна равняться −3, произведение — −40. У нас (−8) + 5 = −3 и (−8) · 5 = −40 — оба сходятся. Условие ② — основание 4 − x положительно и не равно единице, а аргумент 20 − 5x положителен. Условие ③ — аргумент логарифма по основанию 6 положителен.

шаг 4.Неравенство ①

Корни −8, 3 и 5 закрашены (нестрогое ≥).

Пробная точка x = 0 на интервале (−8; 3): (0 + 8)(0 − 3)(0 − 5) = 8 · (−3) · (−5) = 120 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−8; 3] ∪ [5; +∞).

шаг 5.Ограничение ②

Основание 4 − x положительно и не равно единице, аргумент 20 − 5x положителен.

Условие 20 − 5x > 0 равносильно x < 4 и потому совпадает с первым. Точка x = 3 выколота: там основание 4 − x обращается в единицу. Решение ②: (−∞; 3) ∪ (3; 4).

шаг 6.Ограничение ③

Аргумент логарифма по основанию 6 положителен.

Проверка по Виета: для x² + 3x − 4 сумма корней должна равняться −3, произведение — −4. У нас (−4) + 1 = −3 и (−4) · 1 = −4 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое >): трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: (−∞; −4) ∪ (1; +∞).

шаг 7.Пересечение

Сводим три оси в одну. Луч [5; +∞) целиком не проходит ограничение ②, а отрезок [−8; 3] ограничение ③ разрывает на два куска и открывает правую границу.

Проверка: x = 2 ⇒ скобка равна log₆ 6 + 2 = 3, левая часть (2 − 3) · 3 + 2 = −1, правая 4 − 6 = −2 ✓. Проверка: x = −5 ⇒ скобка равна log₆ 6 + (−5) = −4, левая часть (−8) · (−4) + (−5) = 27, правая 25 − 6 = 19 ✓. Проверка: x = 3,5 ⇒ левая часть ≈ 6,07, правая 6,25 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.