Задача 10151454 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{\log_{x - 3} 0,5} - \log_{x - 2} (x + 5) + \log_{0,5} (x + 5) \geq \log_{x - 2} (x - 3)

шаг 1.Группируем логарифмы

Обратная величина логарифма — логарифм с переставленными основанием и аргументом. Переносим логарифмы с основанием x − 2 вправо и сворачиваем каждую пару в логарифм произведения.

\frac{1}{\log_{x - 3} 0,5} = \log_{0,5} (x - 3)

\log_{0,5} (x - 3) + \log_{0,5} (x + 5) \geq \log_{x - 2} (x + 5) + \log_{x - 2} (x - 3)

\log_{0,5} ((x - 3) (x + 5)) \geq \log_{x - 2} ((x - 3) (x + 5))

Формула перехода к новому основанию логарифма: 1 / log_a b = log_b a. Сумма логарифмов по одному основанию — логарифм произведения.

шаг 2.Переходим к основанию 2

Обозначим P = (x − 3)(x + 5) и переведём оба логарифма к основанию 2. Слева получается −log₂P, справа — дробь; переносим всё влево и выносим общий множитель.

P = (x - 3) (x + 5)

\log_{0,5} P = - \log_{2} P, \log_{x - 2} P = \frac{\log_{2} P}{\log_{2} (x - 2)}

- \log_{2} P - \frac{\log_{2} P}{\log_{2} (x - 2)} \geq 0

- \log_{2} P \cdot \frac{\log_{2} (x - 2) + 1}{\log_{2} (x - 2)} \geq 0

\frac{\log_{2} P \cdot \log_{2} (2 (x - 2))}{\log_{2} (x - 2)} \leq 0

log₂(x − 2) + 1 = log₂(x − 2) + log₂ 2 = log₂(2(x − 2)) = log₂(2x − 4). Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤».

шаг 3.Метод рационализации

Знак каждого логарифма по основанию 2 определяем методом рационализации: log₂ f имеет тот же знак, что f − 1. Знак дроби — знак произведения числителя и знаменателя. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

P - 1 = (x - 3) (x + 5) - 1 = x^{2} + 2 x - 16

(2 x - 4) - 1 = 2 x - 5, (x - 2) - 1 = x - 3

{\begin{matrix} \frac{(x^{2} + 2 x - 16) (2 x - 5)}{x - 3} \leq 0 & 1 \\ x - 3 > 0, x - 3 \neq 1 & 2 \\ x - 2 > 0, x - 2 \neq 1, x + 5 > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание x − 3 исходного логарифма положительно и не равно единице. Условие ③ — то же для основания x − 2 плюс положительность аргумента x + 5.

шаг 4.Неравенство ①

Раскладываем квадратный трёхчлен через дискриминант.

D = 2^{2} - 4 \cdot (- 16) = 4 + 64 = 68

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{17}}{2} \begin{matrix} = \sqrt{17} - 1 \\ = - 1 - \sqrt{17} \end{matrix}

1 \frac{(x + 1 + \sqrt{17}) (x + 1 - \sqrt{17}) (2 x - 5)}{x - 3} \leq 0

Корни числителя закрашены (нестрогое ≤), точка разрыва x = 3 выколота. Пробная точка x = 0 на интервале (−1 − √17; 2,5): (0 + 0 − 16)(0 − 5)/(0 − 3) = 80/(−3) ≈ −26,7 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−1 − √17; 2,5] ∪ (3; √17 − 1].

шаг 5.Ограничения ② и ③

Основания обоих исходных логарифмов положительны и не равны единице, аргумент x + 5 положителен.

2 x - 3 > 0, x - 3 \neq 1

x > 3, x \neq 4

3 x - 2 > 0, x - 2 \neq 1

x > 2, x \neq 3, x > - 5

Условие x > −5 слабее остальных и в итог не попадает. Решение ②: (3; 4) ∪ (4; +∞). Решение ③: (2; 3) ∪ (3; +∞).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничения оставляют только правее тройки, поэтому отрезок [−1 − √17; 2,5] целиком выпадает, а от второго куска остаётся ровно он сам.

Точка x = 4 из ограничения ② лежит правее √17 − 1 ≈ 3,12 и на ответ не влияет. Проверка: x = √17 − 1 ⇒ P = (x − 3)(x + 5) = 1, оба логарифма равны нулю, получается 0 ≥ 0 ✓. Проверка: x = 5 ⇒ P = 20, слева log₀,₅ 20 ≈ −4,32, справа log₃ 20 ≈ 2,73 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (3; \sqrt{17} - 1]