условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основания x + 1 и (x + 1)² положительны и не равны единице, аргументы положительны.
При x > −1 аргументы (x + 2)² и √(x + 2) положительны автоматически. Условие (x + 1)² ≠ 1 даёт x ≠ 0 и x ≠ −2; вторая точка вне луча x > −1.
шаг 2.Замена переменной
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Проверка по Виета: для u² − u − 2 сумма корней должна равняться 1, произведение — −2. У нас 2 + (−1) = 1 и 2 · (−1) = −2 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни закрашены (нестрогое ≥): трёхчлен неотрицателен вне корней. Решение: u ≤ −1 или u ≥ 2.
шаг 3.Случай u ≥ 2
Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤». Пробная точка x = 1 на интервале ((√5 − 1)/2; +∞): 1 · (1 + 1 − 1) = 1 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Пересечение с ОДЗ выкалывает границу x = 0. Итог случая: (0; (√5 − 1)/2].
шаг 4.Случай u ≤ −1
Минус единицу записываем как log_{x+1}(x + 1)⁻¹ и снова рационализируем. Вторую скобку приводим к общему знаменателю x + 1, который положителен по ОДЗ.
Множитель x + 1 положителен по ОДЗ, поэтому знаменатель на знак не влияет и его можно убрать. Пробная точка x = −0,5 на интервале ((√5 − 3)/2; 0): (−0,5)(0,25 − 1,5 + 1) = (−0,5)(−0,25) = 0,125 > 0 — знак «+». Пересечение с ОДЗ выкалывает границу x = 0 и обрезает всё левее −1. Итог случая: [(√5 − 3)/2; 0).
шаг 5.Объединение случаев
Случаи u ≥ 2 и u ≤ −1 связаны через ИЛИ, поэтому их результаты объединяем. Точка x = 0 остаётся выколотой: там основание x + 1 обращается в единицу.
Проверка: x = 0,5 ⇒ основание 1,5, аргумент 2,5, u = log₁,₅ 2,5 ≈ 2,26 ≥ 2 ✓. Проверка: x = −0,2 ⇒ основание 0,8, аргумент 1,8, u = log₀,₈ 1,8 ≈ −2,63 ≤ −1 ✓. Проверка: x = −0,5 ⇒ u = log₀,₅ 1,5 ≈ −0,58 — не попадает ни в один случай, и в ответ точка не входит ✓.