условие
шаг 1.Замена переменной
Обозначим t = log₃ x. Тогда log_x 3 = 1/t по формуле перехода к новому основанию логарифма, и всё неравенство записывается через t.
Аргумент 1 + 1/t² положителен при любом t ≠ 0, поэтому отдельного ограничения он не даёт.
шаг 2.Метод рационализации
Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице; второе из них даёт t ≠ 0, то есть x ≠ 1.
шаг 3.Неравенство ①
Раскрываем вторую скобку и приводим к одной дроби. В числителе появляется сумма кубов.
Сумма кубов: 1 + t³ = (1 + t)(t² − t + 1). У второго множителя D = 1 − 4 = −3 < 0 и ветви параболы вверх, поэтому он положителен при любом t и на знак не влияет. Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≤» становится «≥». Пробная точка t = 1 на интервале (0; +∞): (1 + 1)(1 − 1 + 1)/1 = 2 > 0 — знак «+». Решение ①: t ≤ −1 или t > 0.
шаг 4.Ограничение ②
Основание логарифма положительно и не равно единице.
Решение ②: (−∞; 0) ∪ (0; 1).
шаг 5.Пересечение и обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому левая граница первого интервала — ноль, и он выколот. Проверка: x = 1/9 (t = −2) ⇒ основание 3, аргумент 1,25, log₃ 1,25 ≈ 0,20 ≤ 1 ✓. Проверка: x = 1/2 (t ≈ −0,63) ⇒ основание ≈ 1,63, аргумент ≈ 3,51, логарифм ≈ 2,57 > 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.