условие
шаг 1.Сворачиваем обе части
Обратная величина логарифма — это логарифм с переставленными основанием и аргументом. Слева получается сумма двух логарифмов по одному основанию, справа — один логарифм.
Формула перехода к новому основанию логарифма: log_b a = 1 / log_a b. Сумма логарифмов по одному основанию — логарифм произведения: log 3 + log 2 = log 6.
шаг 2.Метод рационализации
Множитель (6 − 1) = 5 у каждой рационализации положителен и на знак не влияет, поэтому его не выписываем. Проверка по Виета: для 6x² − x − 1 = 6(x − 1/2)(x + 1/3) сумма корней должна равняться 1/6, произведение — −1/6. У нас 1/2 + (−1/3) = 1/6 и (1/2) · (−1/3) = −1/6 — оба сходятся.
шаг 3.Неравенство ①
Корни числителя: −1/3 и 0,5 — закрашены (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя 0, 0,2 и 1 выколоты.
Пробная точка x = 0,1 на интервале (0; 0,2): (0,2 − 1)(0,3 + 1) / ((1 − 0,5) · 0,6 · (0,1 − 1)) = (−1,04)/(−0,27) ≈ 3,85 > 0 — знак «+»; все корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−1/3; 0) ∪ (0,2; 0,5] ∪ (1; +∞).
шаг 4.Ограничение ②
Основание левого логарифма положительно и не равно единице.
Точка x = 0,2 выколота: там основание 2 − 5x обращается в единицу. Решение ②: (−∞; 0,2) ∪ (0,2; 0,4).
шаг 5.Ограничение ③
Основание правого логарифма положительно и не равно единице. Раскладываем трёхчлен через дискриминант.
Парабола ветвями вверх: трёхчлен положителен вне корней (3 ± √3)/6. В единицу он обращается при 6x(x − 1) = 0, то есть при x = 0 и x = 1 — эти точки тоже выколоты. Решение ③: (−∞; 0) ∪ (0; (3 − √3)/6) ∪ ((3 + √3)/6; 1) ∪ (1; +∞).
шаг 6.Пересечение
Сводим три оси в одну. Ограничение ③ обрезает второй интервал решения ① по точке (3 − √3)/6, а луч (1; +∞) полностью выпадает: там нарушено ограничение ②.
В точке x = −1/3 оба выражения 2 − 5x и 6x² − 6x + 1 равны 11/3, логарифмы совпадают и неравенство обращается в равенство ✓. Проверка: x = −0,2 ⇒ log₃ 6 ≈ 1,63 и log₂,₄₄ 6 ≈ 2,01 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 0,1 ⇒ log₁,₅ 6 ≈ 4,42 и log₀,₄₆ 6 ≈ −2,31 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.