Задача 10151443 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Переходим к основанию 2

Оба основания — степени двойки или зависят от x, поэтому переводим всю левую часть к основанию 2 по формуле перехода к новому основанию логарифма.

\log_{0,25} (1 - 6 x) = \frac{\log_{2} (1 - 6 x)}{\log_{2} 0,25} = - \frac{\log_{2} (1 - 6 x)}{2}

\log_{1 - x} \frac{1}{2} = \frac{\log_{2} \frac{1}{2}}{\log_{2} (1 - x)} = - \frac{1}{\log_{2} (1 - x)}

\frac{\log_{2} (1 - 6 x)}{2 \log_{2} (1 - x)} > 1

log₂ 0,25 = log₂ 2⁻² = −2, log₂ (1/2) = −1. Два минуса при перемножении дают плюс.

шаг 2.Сравниваем дробь с единицей

Переносим единицу влево и сводим к одной дроби. Удвоенный логарифм сворачивается в логарифм квадрата, а разность логарифмов — в логарифм частного.

\frac{\log_{2} (1 - 6 x) - 2 \log_{2} (1 - x)}{2 \log_{2} (1 - x)} > 0

2 \log_{2} (1 - x) = \log_{2} {(1 - x)}^{2}

\frac{\log_{2} \frac{1 - 6 x}{{(1 - x)}^{2}}}{2 \log_{2} (1 - x)} > 0

По ОДЗ 1 − x > 0, поэтому (1 − x)² = |1 − x|² и свёртка 2log₂(1 − x) = log₂(1 − x)² законна.

шаг 3.Метод рационализации

Знак каждого логарифма определяем методом рационализации: log₂ f имеет тот же знак, что f − 1. Знак дроби — это знак произведения числителя и знаменателя, поэтому оба рационализирующих выражения просто перемножаются. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

\frac{1 - 6 x}{{(1 - x)}^{2}} - 1 = \frac{1 - 6 x - {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{- x (x + 4)}{{(1 - x)}^{2}}

(1 - x) - 1 = - x

{\begin{matrix} \frac{- x (x + 4)}{{(1 - x)}^{2}} \cdot (- x) > 0 & 1 \\ 1 - 6 x > 0 & 2 \\ 1 - x > 0, 1 - x \neq 1 & 3 \end{matrix}

1 − 6x − (1 − x)² = 1 − 6x − 1 + 2x − x² = −x² − 4x = −x(x + 4). Условие ② — аргумент первого логарифма положителен, ③ — основание второго логарифма положительно и не равно единице.

шаг 4.Неравенство ①

Перемножаем: два минуса дают плюс, и в числителе появляется полный квадрат x².

1 \frac{x^{2} (x + 4)}{{(1 - x)}^{2}} > 0

Корень x = 0 имеет чётную кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется; он выколот строгим неравенством. Точка разрыва x = 1 тоже чётной кратности → петелька. Пробная точка x = −1 на интервале (−4; 0): 1 · (−1 + 4) / (1 + 1)² = 3/4 > 0 — знак «+». Решение ①: (−4; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞).

шаг 5.Ограничения ② и ③

Аргумент первого логарифма положителен, основание второго положительно и не равно единице.

2 1 - 6 x > 0

x < \frac{1}{6}

3 1 - x > 0, 1 - x \neq 1

x < 1, x \neq 0

Основание 1 − x обращается в единицу при x = 0 — эта точка выколота. Решение ②: x < 1/6. Решение ③: (−∞; 0) ∪ (0; 1).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② обрезает правую часть по x = 1/6, а точка x = 0 остаётся выколотой и по ①, и по ③.

Проверка: x = −1 ⇒ log₀,₂₅ 7 ≈ −1,40 и log₂ 0,5 = −1, произведение ≈ 1,40 > 1 ✓. Проверка: x = 0,1 ⇒ log₀,₂₅ 0,4 ≈ 0,66 и log₀,₉ 0,5 ≈ 6,58, произведение ≈ 4,35 > 1 ✓. Проверка: x = −5 ⇒ произведение ≈ 0,96 < 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие