условие

x2log5−x⁡x≤(5x−4)⋅logx⁡(5−x)

шаг 1.Взаимно обратные логарифмы

Логарифмы слева и справа взаимно обратны: у них основание и аргумент меняются местамиПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
, поэтому log_x(5 − x) = 1/log_{5−x}x. У обеих частей оказывается общий знаменатель — переносим всё влево и собираем одну дробь.
logx⁡(5−x)=1log5−x⁡x
x2log5−x⁡x≤5x−4log5−x⁡x
x2−(5x−4)log5−x⁡x≤0
x2−5x+4log5−x⁡x≤0
(x−1)(x−4)log5−x⁡x≤0

Формула перехода к новому основанию: log_b a = 1/log_a b. Проверка по Виета: для x² − 5x + 4 сумма корней должна равняться 5, произведение — 4. У нас 1 + 4 = 5 и 1 · 4 = 4 — оба сходятся.

шаг 2.Метод рационализации

В знаменателе остался логарифм с переменным основанием. Его знак даёт метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.
(x−1)(x−4)log5−x⁡x≤0⟺
{(x−1)(x−4)((5−x)−1)(x−1)≤01x>0,x≠125−x>0,5−x≠13

Здесь основание f = 5 − x, аргумент g = x. Выражение x работает и аргументом первого логарифма, и основанием второго, поэтому обязано быть положительным и не равным единице — это ②. То же для 5 − x — это ③. Условие log_{5−x}x ≠ 0 отдельной строкой не пишем: это ровно точки разрыва дроби ①.

шаг 3.Неравенство ①

В знаменателе 4 − x = −(x − 4): числитель и знаменатель — одно и то же произведение, отличающееся только знаком. Точки разрыва знаменателя: 1 и 4. Каждая из них стоит и в числителе, и в знаменателе — корень суммарно чётной кратности: выколота по ОДЗ, петелька, знак через неё не меняется.

1(x−1)(x−4)((5−x)−1)(x−1)≤0
(x−1)(x−4)(4−x)(x−1)≤0
(x−1)(x−4)−(x−4)(x−1)≤0
−−−①14
−∞
+∞
x
Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 4)/(−(0 − 4)(0 − 1)) = 4/(−4) = −1 < 0 — знак «−». Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
 Через обе петельки знак не меняется, значит дробь отрицательна всюду, где определена: она тождественно равна −1, и нестрогое ≤ 0 выполняется. Решение ①: вся ось, кроме x = 1 и x = 4.

шаг 4.Ограничение ②

Условие ② — выражение x положительно и не равно единице.

2x>0,x≠1
−++②01
−∞
+∞
x

Точка x = 1 выколота: там x становится основанием, равным единице, и логарифм не определён. Знак самого x через неё не меняется. Решение ②: (0; 1) ∪ (1; +∞).

шаг 5.Ограничение ③

Условие ③ — выражение 5 − x положительно и не равно единице.

35−x>0,5−x≠1
x<5,x≠4
++−③45
−∞
+∞
x

Точка x = 4 выколота: там 5 − x обращается в единицу. Знак самого выражения 5 − x через неё не меняется. Решение ③: (−∞; 4) ∪ (4; 5).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Неравенство ① выполняется всюду, где дробь определена, поэтому ответ совпадает с ОДЗ: ограничения ② и ③ оставляют интервал (0; 5) и вырезают из него точки 1 и 4.

①14
−∞
+∞
x
②01
−∞
+∞
x
③45
−∞
+∞
x
пересечение0145
−∞
+∞
x
Проверка: x = 2 ⇒ слева 4/log₃ 2 ≈ 6,3, справа 6 · log₂ 3 ≈ 9,5 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 4,5 ⇒ слева 20,25/log_{0,5} 4,5 ≈ −9,3, справа 18,5 · log_{4,5} 0,5 ≈ −8,5 ✓.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

ответ

x∈(0;1)∪(1;4)∪(4;5)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -