Задача 10151438 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{2 x + 4} (x^{2} - 3 x + 10) \geq 1

шаг 1.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

\log_{2 x + 4} (x^{2} - 3 x + 10) \geq \log_{2 x + 4} (2 x + 4) ⟺

{\begin{matrix} ((2 x + 4) - 1) ((x^{2} - 3 x + 10) - (2 x + 4)) \geq 0 & 1 \\ 2 x + 4 > 0 & 2 \\ 2 x + 4 \neq 1 & 3 \\ x^{2} - 3 x + 10 > 0 & 4 \end{matrix}

Единица — это логарифм самого основания: 1 = logₐ a. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках и раскладываем получившийся трёхчлен через дискриминант.

1 ((2 x + 4) - 1) ((x^{2} - 3 x + 10) - (2 x + 4)) \geq 0

(2 x + 3) (x^{2} - 5 x + 6) \geq 0

x^{2} - 5 x + 6 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \begin{matrix} = 3 \\ = 2 \end{matrix}

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

(2 x + 3) (x - 2) (x - 3) \geq 0

Корни левой части −1,5, 2 и 3 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 на интервале (−1,5; 2): (2 · 0 + 3)(0 − 2)(0 − 3) = 3 · (−2) · (−3) = 18 > 0 — знак «+»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: [−1,5; 2] ∪ [3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 2 x + 4 > 0

x > - 2

Решение ②: x > −2.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 2 x + 4 \neq 1

2 x \neq - 3

x \neq - 1,5

При x = −1,5 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = −1,5.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Считаем дискриминант трёхчлена.

4 x^{2} - 3 x + 10 > 0

D = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = - 31 < 0

Дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх — трёхчлен положителен при любом x. Ограничение ④ выполняется всегда и ничего не отсекает. Решение ④: вся ось.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ③ выкалывает левый конец x = −1,5, ограничение ② отрезает всё левее −2 (там решения ① и так не было), ограничение ④ не отсекает ничего.

Точки 2 и 3 закрашены: там аргумент совпадает с основанием, логарифм равен единице и нестрогое ≥ выполняется. Точка −1,5 выколота ограничением ③. Проверка: x = 0 ⇒ основание 4 > 1, аргумент 10 > 4, логарифм log₄ 10 ≈ 1,66 ≥ 1 ✓.

ответ

x \in (- 1,5; 2] \cup [3; + \infty)