Задача 10151437 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Оба основания зависят от x. Записываем правую часть как логарифм единицы по тому же основанию и применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

{\begin{matrix} (x^{2} - x - 1) (\log_{x^{2} + x} x - 1) \geq 0 & 1 \\ x^{2} - x > 0, x^{2} - x \neq 1 & 2 \\ x > 0, x^{2} + x \neq 1, \log_{x^{2} + x} x > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание внешнего логарифма положительно и не равно единице. Условие ③ — аргумент внешнего логарифма положителен, а сам внутренний логарифм определён.

шаг 2.Неравенство ①

Внутри ① остался ещё один логарифм. Единицу снова записываем логарифмом по основанию x² + x и рационализируем второй раз — получается многочлен.

\log_{x^{2} + x} x - 1 = \log_{x^{2} + x} x - \log_{x^{2} + x} (x^{2} + x)

(x^{2} + x - 1) (x - (x^{2} + x)) = (x^{2} + x - 1) \cdot (- x^{2})

1 (x^{2} - x - 1) (x^{2} + x - 1) \cdot (- x^{2}) \geq 0

x^{2} (x^{2} - x - 1) (x^{2} + x - 1) \leq 0

D = 1 + 4 = 5 ⟹ x^{2} - x - 1 = 0 при x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

D = 1 + 4 = 5 ⟹ x^{2} + x - 1 = 0 при x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}

Умножение обеих частей на −1 переворачивает знак: «≥» становится «≤». Множитель x² даёт корень x = 0 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; сама точка закрашена (нестрогое ≤) и войдёт в решение ① изолированно. Пробная точка x = 2 на интервале ((1+√5)/2; +∞): 4 · (4 − 2 − 1)(4 + 2 − 1) = 4 · 1 · 5 = 20 > 0 — знак «+». Решение ①: [−(1+√5)/2; (1−√5)/2] ∪ {0} ∪ [(√5−1)/2; (1+√5)/2].

шаг 3.Ограничение ②

Основание внешнего логарифма положительно и не равно единице.

2 x (x - 1) > 0, x^{2} - x - 1 \neq 0

x < 0 или x > 1, x \neq \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Произведение x(x − 1) положительно вне отрезка [0; 1]. Основание обращается в единицу при x = (1 ± √5)/2 — обе точки выколоты. Решение ②: (−∞; 0) ∪ (1; +∞) без точек (1 ± √5)/2.

шаг 4.Ограничение ③

Внутренний логарифм определён при x > 0 и основании, не равном единице, а положителен он там, где по методу рационализации положительно произведение (x² + x − 1)(x − 1).

3 \log_{x^{2} + x} x > 0 ⟺ (x^{2} + x - 1) (x - 1) > 0

x > 0 ⟹ x + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0

(x - \frac{\sqrt{5} - 1}{2}) (x - 1) > 0

Левее нуля внутренний логарифм не определён, поэтому знак там не ставится. Второй корень трёхчлена x² + x − 1 отрицателен, при x > 0 соответствующий множитель положителен и на знак не влияет. Точка x = (√5 − 1)/2 выколота ещё и потому, что там основание x² + x обращается в единицу. Решение ③: (0; (√5 − 1)/2) ∪ (1; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничения ② и ③ вместе оставляют только x > 1, а неравенство ① обрезает этот луч сверху точкой (1 + √5)/2, которая к тому же выколота ограничением ②.

Изолированная точка x = 0 из решения ① не проходит ни ②, ни ③ и в ответ не попадает. Проверка: x = 1,5 ⇒ основание x² − x = 0,75 < 1, аргумент log₃,₇₅ 1,5 ≈ 0,31 < 1, значит внешний логарифм положителен ✓. Проверка: x = 2 ⇒ основание 2, аргумент log₆ 2 ≈ 0,39 < 1, внешний логарифм отрицателен — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Ограничение ③

шаг 5.Пересечение

ответ