Задача 10151434 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Двойку справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{\frac{x}{2}} (x^{2} - 2 x + 1) \geq \log_{\frac{x}{2}} {(\frac{x}{2})}^{2} ⟺

{\begin{matrix} (\frac{x}{2} - 1) (x^{2} - 2 x + 1 - {(\frac{x}{2})}^{2}) \geq 0 & 1 \\ \frac{x}{2} > 0, \frac{x}{2} \neq 1 & 2 \\ x^{2} - 2 x + 1 > 0 & 3 \end{matrix}

Двойка — это логарифм основания в квадрате: 2 = logₐ a². Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Каждую скобку упрощаем отдельно: первая сводится к одной дроби, во второй приводим к общему знаменателю 4 и раскладываем числитель через дискриминант. Потом домножаем обе части на 8, знак сохраняется. Корень 2/3 закрашен (нестрогое ≥). Корень 2 — чётной кратности 2: петелька, знак через него не меняется, сама точка закрашена (левая часть там равна нулю).

1 (\frac{x}{2} - 1) (x^{2} - 2 x + 1 - {(\frac{x}{2})}^{2}) \geq 0

\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 2}{2}

x^{2} - 2 x + 1 - \frac{x^{2}}{4} = \frac{4 x^{2} - 8 x + 4 - x^{2}}{4} = \frac{3 x^{2} - 8 x + 4}{4}

3 x^{2} - 8 x + 4 = 0, D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16

x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{2}{3} \end{matrix}

3 x^{2} - 8 x + 4 = 3 (x - 2) (x - \frac{2}{3})

\frac{x - 2}{2} \cdot \frac{3 (x - 2) (x - \frac{2}{3})}{4} \geq 0

\frac{3 {(x - 2)}^{2} (x - \frac{2}{3})}{8} \geq 0 | \cdot 8

3 {(x - 2)}^{2} (x - \frac{2}{3}) \geq 0

Пробная точка x = 1: 3(1 − 2)²(1 − 2/3) = 3 · 1 · 1/3 = 1 > 0 — знак «+» на интервале (2/3; 2). Множитель (x − 2)² чётной кратности, через точку 2 знак не меняется — справа тоже «+». Множитель 3 > 0 на знак не влияет, но и убирать его не нужно. Решение ①: [2/3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 \frac{x}{2} > 0, \frac{x}{2} \neq 1

x > 0, x \neq 2

Точка x = 2 выколота условием «основание ≠ 1». Знак выражения x/2 через неё не меняется — слева и справа от неё стоит один и тот же плюс. Решение ②: (0; 2) ∪ (2; +∞).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Он сворачивается в полный квадрат.

3 x^{2} - 2 x + 1 > 0

{(x - 1)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 1

Квадрат разности: x² − 2x + 1 = (x − 1)². Чётная степень (x − 1)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 1, поэтому (x − 1)² > 0 равносильно x ≠ 1. Решение ③: x ≠ 1.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② выкалывает точку 2, ограничение ③ — точку 1. Условие x > 0 ответ не режет: левая граница 2/3 и так положительна.

Точка 2/3 закрашена: там основание равно 1/3, аргумент — 1/9 = (1/3)², обе части исходного неравенства равны 2. Точка 1 выколота: аргумент обращается в ноль. Точка 2 выколота: основание равно единице.