шаг 1.Метод рационализации

Здесь основание f = x² + 6x + 10, аргумент g = 3x + 10. Множитель (4x + 13) в замене не участвует — он и так многочлен, его знак виден напрямую. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках: x² + 6x + 9 сворачивается в квадрат суммы, а из 3x + 9 выносим 3. Три одинаковые скобки (x + 3) собираются в куб.

Корни левой части −3,25 и −3 закрашены (нестрогое ≥). У корня −3 кратность 3 — она нечётная, поэтому знак через него меняется. Пробная точка x = −4 на интервале (−∞; −3,25): 3(4 · (−4) + 13)((−4) + 3)³ = 3 · (−3) · (−1) = 9 > 0 — знак «+»; дальше знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −3,25] ∪ [−3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно. Считаем дискриминант трёхчлена.

Дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх — трёхчлен положителен при любом x. Ограничение ② выполняется всегда и ничего не отсекает. Решение ②: вся ось.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице. Тот же квадрат суммы уже свернулся в ①.

При x = −3 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = −3.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

Решение ④: x > −10/3.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ④ обрезает левый луч по x = −10/3, ограничение ③ выкалывает точку x = −3, ограничение ② не отсекает ничего.

Точка x = −3,25 закрашена: там множитель 4x + 13 обращается в ноль, всё произведение равно нулю, и нестрогое ≥ выполняется. Точка x = −3 выколота ограничением ③. Проверка: x = −3,3 ⇒ основание 1,09 > 1, аргумент 0,1 < 1, логарифм отрицателен; множитель 4x + 13 = −0,2 тоже отрицателен, произведение положительно ✓.