шаг 1.Метод рационализации

Здесь основание f = 2x + 5, аргумент g = x² + 4x + 5. Множитель (3x + 7) в замене не участвует — он и так многочлен, его знак виден напрямую. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках: из 2x + 4 выносим 2, а x² + 4x + 4 сворачиваем в квадрат суммы. Три одинаковые скобки (x + 2) собираются в куб.

Корни левой части −7/3 и −2 закрашены (нестрогое ≥). У корня −2 кратность 3 — она нечётная, поэтому знак через него меняется. Пробная точка x = −3 на интервале (−∞; −7/3): 2(3 · (−3) + 7)((−3) + 2)³ = 2 · (−2) · (−1) = 4 > 0 — знак «+»; дальше знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −7/3] ∪ [−2; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

Решение ②: x > −2,5.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

При x = −2 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = −2.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Считаем дискриминант трёхчлена.

Дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх — трёхчлен положителен при любом x. Ограничение ④ выполняется всегда и ничего не отсекает. Решение ④: вся ось.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ② обрезает левый луч по x = −2,5, ограничение ③ выкалывает точку x = −2, ограничение ④ не отсекает ничего.

Точка x = −7/3 закрашена: там множитель 3x + 7 обращается в ноль, всё произведение равно нулю, и нестрогое ≥ выполняется. Точка x = −2 выколота ограничением ③. Проверка: x = −2,4 ⇒ основание 0,2 < 1, аргумент 1,16 > 1, логарифм отрицателен; множитель 3x + 7 = −0,2 тоже отрицателен, произведение положительно ✓.