Задача 10151425 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{x}{4}} (4 x^{2} - 2 x + 1) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{\frac{x}{4}} (4 x^{2} - 2 x + 1) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} (\frac{x}{4} - 1) ((4 x^{2} - 2 x + 1) - 1) \geq 0 & 1 \\ \frac{x}{4} > 0 & 2 \\ \frac{x}{4} \neq 1 & 3 \\ 4 x^{2} - 2 x + 1 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f — дробь с числителем x и знаменателем 4, аргумент g = 4x² − 2x + 1. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Первую скобку сводим к одной дроби, во второй приводим подобные. Домножаем обе части на 4 — знак сохраняется, знаменатель сокращается. Затем выносим общий множитель 2x.

1 (\frac{x}{4} - 1) ((4 x^{2} - 2 x + 1) - 1) \geq 0

\frac{x - 4}{4} \cdot (4 x^{2} - 2 x) \geq 0 | \cdot 4

(x - 4) (4 x^{2} - 2 x) \geq 0

(x - 4) \cdot 2 x (2 x - 1) \geq 0

Нули левой части: x = 4, x = 0 и 2x − 1 = 0, то есть x = 0,5. Все три закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0,25 на интервале (0; 0,5): (0,25 − 4) · 2 · 0,25 · (2 · 0,25 − 1) = (−3,75) · 0,5 · (−0,5) = 0,9375 > 0 — знак «+»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: [0; 0,5] ∪ [4; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 \frac{x}{4} > 0 | \cdot 4

x > 0

Решение ②: x > 0.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 \frac{x}{4} \neq 1

x \neq 4

При x = 4 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 4.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Считаем дискриминант трёхчлена.

4 4 x^{2} - 2 x + 1 > 0

D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = - 12 < 0

Дискриминант отрицателен, старший коэффициент 4 > 0 — парабола целиком выше оси, корней нет. Значит, трёхчлен положителен при любом x, и условие ④ никаких ограничений не накладывает. Решение ④: вся ось.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ② выкалывает точку x = 0, условие ③ — точку x = 4. Условие ④ выполнено везде и ничего не отсекает.

Точка x = 0,5 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Проверка: x = 0,25 ⇒ основание 0,0625 < 1, аргумент 0,25 − 0,5 + 1 = 0,75 < 1, логарифм положителен ✓.

ответ

x \in (0; 0,5] \cup (4; + \infty)