Задача 10151423 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{2 x - 3} (10 - 3 x) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((2 x - 3) - 1) ((10 - 3 x) - 1) \geq 0 & 1 \\ 2 x - 3 > 0 & 2 \\ 2 x - 3 \neq 1 & 3 \\ 10 - 3 x > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = 2x − 3, аргумент g = 10 − 3x. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках, затем выносим числовые множители 2 и 3.

1 ((2 x - 3) - 1) ((10 - 3 x) - 1) \geq 0

(2 x - 4) (9 - 3 x) \geq 0

6 (x - 2) (3 - x) \geq 0

Корни левой части 2 и 3 закрашены (нестрогое ≥). Минус в скобке (3 − x) трогать не нужно: знак расставится прямо в этой форме через пробную точку. Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 2): 6(0 − 2)(3 − 0) = 6 · (−2) · 3 = −36 < 0 — знак «−»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: 2 ≤ x ≤ 3.

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 2 x - 3 > 0

2 x > 3

x > 1,5

Решение ②: x > 1,5.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 2 x - 3 \neq 1

2 x \neq 4

x \neq 2

При x = 2 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 2.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 10 - 3 x > 0

3 x < 10

x < \frac{10}{3}

Слагаемое 3x переносим в правую часть — знак неравенства при переносе не меняется (на −1 мы ничего не умножали). Решение ④: x < 10/3.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ③ выкалывает левую границу x = 2. Условия ② и ④ обрезают ось снаружи отрезка от 2 до 3 и на ответ не влияют.

Точка x = 3 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Проверка: x = 2,5 ⇒ основание 2 > 1, аргумент 2,5 > 1, логарифм положителен ✓.

условие