Задача 10151419 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{x - 1} (\frac{x + 1}{5}) \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((x - 1) - 1) (\frac{x + 1}{5} - 1) \leq 0 & 1 \\ x - 1 > 0 & 2 \\ x - 1 \neq 1 & 3 \\ \frac{x + 1}{5} > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = x − 1, аргумент g — дробь с числителем x + 1 и знаменателем 5. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

В первой скобке приводим подобные, вторую сводим к одной дроби. Затем домножаем обе части на 5 — знак сохраняется, знаменатель сокращается.

1 ((x - 1) - 1) (\frac{x + 1}{5} - 1) \leq 0

(x - 2) \cdot \frac{x + 1 - 5}{5} \leq 0

\frac{(x - 2) (x - 4)}{5} \leq 0 | \cdot 5

(x - 2) (x - 4) \leq 0

Корни левой части 2 и 4 закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 3 на интервале (2; 4): (3 − 2)(3 − 4) = 1 · (−1) = −1 < 0 — знак «−»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: 2 ≤ x ≤ 4.

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 x - 1 > 0

x > 1

Решение ②: x > 1.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 x - 1 \neq 1

x \neq 2

При x = 2 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 2.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 \frac{x + 1}{5} > 0 | \cdot 5

x + 1 > 0

x > - 1

Решение ④: x > −1.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ③ выкалывает левую границу x = 2. Условия ② и ④ отсекают то, что левее 1, — в решении ① этого и так не было.

Точка x = 4 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≤ выполняется. Проверка: x = 3 ⇒ основание 2 > 1, аргумент 0,8 < 1, логарифм отрицателен ✓.

условие