условие
шаг 1.Метод рационализации
Здесь основание f = 6x² + 5x, аргумент g = 2x² − 3x + 1. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.
шаг 2.Неравенство ①
Приводим подобные в обеих скобках. Первый множитель раскладываем через дискриминант, во втором выносим общий множитель x.
Корни левой части −1, 0, 1/6 и 1,5 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = −0,5 на интервале (−1; 0): 6(−0,5 + 1)(−0,5 − 1/6) · (−0,5)(2 · (−0,5) − 3) = 6 · 0,5 · (−2/3) · (−0,5) · (−4) = −4 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −1] ∪ [0; 1/6] ∪ [1,5; +∞).
шаг 3.Ограничение ②
Условие ② — основание логарифма положительно. Выносим общий множитель x.
Нули левой части: x = 0 и 6x + 5 = 0, то есть x = −5/6. Обе точки выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх, поэтому трёхчлен положителен вне корней. Решение ②: x < −5/6 или x > 0.
шаг 4.Ограничение ③
Условие ③ — основание логарифма не равно единице. Тот же трёхчлен уже разложен в ①.
В точках −1 и 1/6 основание обращается в единицу, и логарифм не определён. Решение ③: вся ось, кроме x = −1 и x = 1/6.
шаг 5.Ограничение ④
Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Трёхчлен раскладываем через дискриминант.
Корни 0,5 и 1 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх — трёхчлен положителен вне корней. Решение ④: x < 0,5 или x > 1.
шаг 6.Пересечение
Сводим четыре оси в одну. Условие ② выкалывает точку x = 0, условие ③ — точки x = −1 и x = 1/6. Условие ④ отсекает интервал (0,5; 1), которого в решении ① и так не было.
Точка x = 1,5 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Три левые границы выколоты ограничениями ② и ③. Проверка: x = 2 ⇒ основание 6 · 4 + 10 = 34 > 1, аргумент 8 − 6 + 1 = 3 > 1, логарифм положителен ✓.