Задача 10151413 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{6 x^{2} - x - 1} (2 x^{2} - 5 x + 3) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{6 x^{2} - x - 1} (2 x^{2} - 5 x + 3) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((6 x^{2} - x - 1) - 1) ((2 x^{2} - 5 x + 3) - 1) \geq 0 & 1 \\ 6 x^{2} - x - 1 > 0 & 2 \\ 6 x^{2} - x - 1 \neq 1 & 3 \\ 2 x^{2} - 5 x + 3 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = 6x² − x − 1, аргумент g = 2x² − 5x + 3. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках и раскладываем каждый трёхчлен через дискриминант.

1 ((6 x^{2} - x - 1) - 1) ((2 x^{2} - 5 x + 3) - 1) \geq 0

(6 x^{2} - x - 2) (2 x^{2} - 5 x + 2) \geq 0

6 x^{2} - x - 2 = 0

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49

x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{1 \pm 7}{12} \begin{matrix} = \frac{2}{3} \\ = - 0,5 \end{matrix}

6 x^{2} - x - 2 = 6 (x + 0,5) (x - \frac{2}{3})

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = 0,5 \end{matrix}

2 x^{2} - 5 x + 2 = 2 (x - 0,5) (x - 2)

6 (x + 0,5) (x - \frac{2}{3}) \cdot 2 (x - 0,5) (x - 2) \geq 0

Корни левой части −0,5, 0,5, 2/3 и 2 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 на интервале (−0,5; 0,5): 6(0 + 0,5)(0 − 2/3) · 2(0 − 0,5)(0 − 2) = 6 · 0,5 · (−2/3) · 2 · (−0,5) · (−2) = −4 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −0,5] ∪ [0,5; 2/3] ∪ [2; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно. Трёхчлен раскладываем через дискриминант.

2 6 x^{2} - x - 1 > 0

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 1) = 1 + 24 = 25

x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12} \begin{matrix} = 0,5 \\ = - \frac{1}{3} \end{matrix}

6 (x + \frac{1}{3}) (x - 0,5) > 0

Корни −1/3 и 0,5 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх, поэтому трёхчлен положителен вне корней. Решение ②: x < −1/3 или x > 0,5.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице. Тот же трёхчлен уже разложен в ①.

3 6 x^{2} - x - 1 \neq 1

6 x^{2} - x - 2 \neq 0

6 (x + 0,5) (x - \frac{2}{3}) \neq 0

x \neq - 0,5, x \neq \frac{2}{3}

В точках −0,5 и 2/3 основание обращается в единицу, и логарифм не определён. Решение ③: вся ось, кроме x = −0,5 и x = 2/3.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Трёхчлен раскладываем через дискриминант.

4 2 x^{2} - 5 x + 3 > 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1

x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} \begin{matrix} = 1,5 \\ = 1 \end{matrix}

2 (x - 1) (x - 1,5) > 0

Корни 1 и 1,5 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх — трёхчлен положителен вне корней. Решение ④: x < 1 или x > 1,5.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ② выкалывает точку x = 0,5, условие ③ — точки x = −0,5 и x = 2/3. Условие ④ отсекает интервал (1; 1,5), которого в решении ① и так не было.

Точка x = 2 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Три левые точки выколоты ограничениями ② и ③. Проверка: x = 0,6 ⇒ основание 6 · 0,36 − 0,6 − 1 = 0,56 < 1, аргумент 2 · 0,36 − 3 + 3 = 0,72 < 1, логарифм положителен ✓.

ответ

x \in (- \infty; - 0,5) \cup (0,5; \frac{2}{3}) \cup [2; + \infty)

$\log_{6 x^{2} + x - 1} (3 x^{2} - 7 x + 3) \geq 0$