Задача 10151412 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{7 - x} (2 x + 9) \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((7 - x) - 1) ((2 x + 9) - 1) \leq 0 & 1 \\ 7 - x > 0 & 2 \\ 7 - x \neq 1 & 3 \\ 2 x + 9 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = 7 − x, аргумент g = 2x + 9. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

В обеих скобках приводим подобные, во второй выносим общий множитель 2 — корни видны сразу. Дальше метод интервалов.

1 ((7 - x) - 1) ((2 x + 9) - 1) \leq 0

(6 - x) (2 x + 8) \leq 0

2 (6 - x) (x + 4) \leq 0

Корни левой части −4 и 6 закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−4; 6): 2(6 − 0)(0 + 4) = 2 · 6 · 4 = 48 > 0 — знак «+»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −4] ∪ [6; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 7 - x > 0

x < 7

Решение ②: x < 7.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 7 - x \neq 1

x \neq 6

При x = 6 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 6.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 2 x + 9 > 0

x > - 4,5

Решение ④: x > −4,5.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ④ обрезает левый луч слева, условие ③ выкалывает точку x = 6, условие ② — точку x = 7.

Точка x = −4 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≤ выполняется. Проверка: x = −4,2 ⇒ основание 11,2 > 1, аргумент 0,6 < 1, логарифм отрицателен ✓.

условие