Задача 10151408 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{x}{3}} (3 x^{2} - 2 x + 1) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{\frac{x}{3}} (3 x^{2} - 2 x + 1) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} (\frac{x}{3} - 1) ((3 x^{2} - 2 x + 1) - 1) \geq 0 & 1 \\ \frac{x}{3} > 0 & 2 \\ \frac{x}{3} \neq 1 & 3 \\ 3 x^{2} - 2 x + 1 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = x/3, аргумент g = 3x² − 2x + 1. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Во второй скобке единицы взаимно уничтожаются, а дробное основание убираем домножением на 3: знак неравенства сохраняется. Дальше выносим общий множитель x — корни видны сразу.

1 (\frac{x}{3} - 1) ((3 x^{2} - 2 x + 1) - 1) \geq 0

(\frac{x}{3} - 1) (3 x^{2} - 2 x) \geq 0 | \cdot 3

(x - 3) (3 x^{2} - 2 x) \geq 0

x (3 x - 2) (x - 3) \geq 0

Корни левой части 0, 2/3 и 3 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 1 на интервале (2/3; 3): 1 · (3 · 1 − 2)(1 − 3) = 1 · 1 · (−2) = −2 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: [0; 2/3] ∪ [3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 \frac{x}{3} > 0

x > 0

Знаменатель 3 положителен, поэтому знак дроби x/3 совпадает со знаком x. Решение ②: x > 0.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 \frac{x}{3} \neq 1

x \neq 3

При x = 3 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 3.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Знак трёхчлена определяем по дискриминанту.

4 3 x^{2} - 2 x + 1 > 0

D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = - 8 < 0

Дискриминант отрицателен, старший коэффициент 3 > 0 — парабола целиком лежит выше оси и корней не имеет. Решение ④: любое x, поэтому условие ④ ничего не отсекает и своей оси не требует.

шаг 6.Пересечение

Сводим оси ①, ② и ③ в одну и берём пересечение. Условие ② выкалывает левый конец x = 0, условие ③ — точку x = 3.

Точка x = 2/3 остаётся закрашенной: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Проверка: x = 1/3 ⇒ основание 1/9 < 1, аргумент 3 · (1/3)² − 2 · (1/3) + 1 = 2/3 < 1, логарифм положителен ✓.

ответ

x \in (0; \frac{2}{3}] \cup (3; + \infty)