Задача 10151405 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\log_{x} 2 x} (6 x - 2) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Основание внешнего логарифма само является логарифмом. Знак логарифма даёт метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

\log_{\log_{x} 2 x} (6 x - 2) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} (\log_{x} 2 x - 1) ((6 x - 2) - 1) \geq 0 & 1 \\ x > 0, x \neq 1 & 2 \\ \log_{x} 2 x > 0, \log_{x} 2 x \neq 1 & 3 \\ 6 x - 2 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = log_x 2x, аргумент g = 6x − 2. Условие ② — ОДЗ внутреннего логарифма: его основание x положительно и не равно единице. Условия ③ и ④ — ОДЗ внешнего логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Первый множитель сворачивается: единицу записываем как log_x x, и разность логарифмов даёт log_x 2. К нему рационализацию применяем второй раз — знак log_x 2 совпадает со знаком (x − 1)(2 − 1).

\log_{x} 2 x - 1 = \log_{x} 2 x - \log_{x} x = \log_{x} \frac{2 x}{x} = \log_{x} 2

1 (\log_{x} 2 x - 1) ((6 x - 2) - 1) \geq 0

\log_{x} 2 \cdot (6 x - 3) \geq 0

(x - 1) (2 - 1) (6 x - 3) \geq 0

(x - 1) (6 x - 3) \geq 0

6 (x - 0,5) (x - 1) \geq 0

Корни левой части 0,5 и 1 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 0,5): 6(0 − 0,5)(0 − 1) = 6 · (−0,5) · (−1) = 3 > 0 — знак «+»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 0,5] ∪ [1; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание внутреннего логарифма положительно и не равно единице.

2 x > 0, x \neq 1

Точка x = 1 выколота: логарифм по основанию 1 не определён. Знак самого x через неё не меняется. Решение ②: (0; 1) ∪ (1; +∞).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание внешнего логарифма положительно и не равно единице. Знак log_x 2x снова даёт рационализация, а равенство log_x 2x = 1 означало бы 2x = x.

3 \log_{x} 2 x > 0

(x - 1) (2 x - 1) > 0

2 (x - 0,5) (x - 1) > 0

\log_{x} 2 x \neq 1 ⟺ 2 x \neq x

x \neq 0

Рационализация: log_x 2x > 0 — это log_x 2x > log_x 1, то есть (x − 1)(2x − 1) > 0. Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 0,5): 2(0 − 0,5)(0 − 1) = 2 · (−0,5) · (−1) = 1 > 0 — знак «+»; оба корня нечётной кратности, знаки чередуются. Второе условие даёт x ≠ 0, а положительность x уже требует ② — значит, оно выполняется само собой. Решение ③: (−∞; 0,5) ∪ (1; +∞).

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент внешнего логарифма положителен.

4 6 x - 2 > 0

x > \frac{1}{3}

Решение ④: x > 1/3.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ④ поднимает левую границу до 1/3, ограничение ③ выкалывает правый конец 0,5, а луч x > 1 проходит все ограничения целиком.

Точка 0,5 закрашена на оси ①, но в ответ не входит: там основание внешнего логарифма log_x 2x обращается в ноль — это запрещает ограничение ③. Проверка: x = 0,4 ⇒ основание log_{0,4} 0,8 ≈ 0,24 — положительно и меньше 1, аргумент 6 · 0,4 − 2 = 0,4 < 1, логарифм положителен ✓. Проверка: x = 2 ⇒ основание log₂ 4 = 2, аргумент 10, log₂ 10 > 0 ✓.

ответ

x \in (\frac{1}{3}; 0,5) \cup (1; + \infty)

$\log_{\log_{x} 2 x} (9 x - 4) \geq 0$