Задача 10151401 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > 1

шаг 1.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > \log_{\frac{25 - x^{2}}{16}} \frac{25 - x^{2}}{16} ⟺

{\begin{matrix} (\frac{25 - x^{2}}{16} - 1) (\frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} - \frac{25 - x^{2}}{16}) > 0 & 1 \\ \frac{25 - x^{2}}{16} > 0, \frac{25 - x^{2}}{16} \neq 1 & 2 \\ \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > 0 & 3 \end{matrix}

Единица — это логарифм основания по самому себе: 1 = logₐ a. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Вычисляем обе скобки, вторую предварительно приводим к общему знаменателю. Затем домножаем неравенство на положительное произведение знаменателей — знак сохраняется, дроби уходят. Оба множителя раскладываем на линейные. Корни −3, −1, 3 и 17 выколоты (неравенство строгое).

1 (\frac{25 - x^{2}}{16} - 1) (\frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} - \frac{25 - x^{2}}{16}) > 0

\frac{25 - x^{2}}{16} - 1 = \frac{25 - x^{2} - 16}{16} = \frac{9 - x^{2}}{16}

\frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} - \frac{25 - x^{2}}{16} = \frac{8 (24 + 2 x - x^{2}) - 7 (25 - x^{2})}{112} =

= \frac{192 + 16 x - 8 x^{2} - 175 + 7 x^{2}}{112} = \frac{- x^{2} + 16 x + 17}{112}

\frac{9 - x^{2}}{16} \cdot \frac{- x^{2} + 16 x + 17}{112} > 0 | \cdot 1792

(9 - x^{2}) (- x^{2} + 16 x + 17) > 0

(x^{2} - 9) (x^{2} - 16 x - 17) > 0

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

x^{2} - 16 x - 17 = (x - 17) (x + 1)

(x - 3) (x + 3) (x - 17) (x + 1) > 0

В каждом множителе выносим минус: 9 − x² = −(x² − 9) и −x² + 16x + 17 = −(x² − 16x − 17); два минуса дают плюс, знак неравенства не меняется. По теореме Виета для x² − 16x − 17 = 0 сумма корней должна равняться 16, произведение — −17. Подбираем 17 и −1, отсюда x² − 16x − 17 = (x − 17)(x + 1). Пробная точка x = 0: (0 − 3)(0 + 3)(0 − 17)(0 + 1) = 153 > 0 — знак «+» на интервале (−1; 3), через простые корни знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −3) ∪ (−1; 3) ∪ (17; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице. Домножаем обе части на 16, знак сохраняется. Точки, где основание равно единице, выкалываем.

2 \frac{25 - x^{2}}{16} > 0, \frac{25 - x^{2}}{16} \neq 1

25 - x^{2} > 0, 25 - x^{2} \neq 16

(5 - x) (5 + x) > 0, (3 - x) (3 + x) \neq 0

Пробная точка x = 0: (5 − 0)(5 + 0) = 25 > 0 — знак «+» на интервале (−5; 5), парабола ветвями вниз положительна между корнями. Точки x = −3 и x = 3 выколоты условием «основание ≠ 1», знак выражения через них не меняется — поэтому слева и справа от них стоит один и тот же плюс. Решение ②: (−5; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; 5).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Домножаем на 14 и переносим всё в часть с положительным старшим коэффициентом.

3 \frac{24 + 2 x - x^{2}}{14} > 0

24 + 2 x - x^{2} > 0

x^{2} - 2 x - 24 < 0

(x - 6) (x + 4) < 0

Знак поменялся не из-за переноса слагаемых, а из-за умножения на −1: 24 + 2x − x² > 0 ⟺ x² − 2x − 24 < 0. По теореме Виета для x² − 2x − 24 = 0 сумма корней должна равняться 2, произведение — −24. Подбираем 6 и −4, отсюда x² − 2x − 24 = (x − 6)(x + 4). Пробная точка x = 0: (0 − 6)(0 + 4) = −24 < 0 — знак «−» на интервале (−4; 6). Решение ③: (−4; 6).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② обрезает решение ① слева и справа (интервал (17; +∞) выпадает целиком, левый луч — до −5), ограничение ③ поднимает левую границу до −4.

Все границы выколоты: −3, −1 и 3 — по строгому неравенству ①, −4 — по ограничению ③.

ответ

x \in (- 4; - 3) \cup (- 1; 3)