условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы определены при положительных основаниях, не равных единице, и положительных аргументах. Знаменатель дроби — произведение логарифмов — не равен нулю.
Аргументы 10x⁻¹, 10x², x положительны при x > 0 автоматически — новых ограничений не дают. Основания x, 10x, 10x⁻² не равны 1 → три исключения. Произведение логарифмов в знаменателе зануляется только при x = 1, что уже исключено.
шаг 2.Замена t = lg x
Все логарифмы переводим к основанию 10 по формуле перехода log_a b = lg b / lg a и обозначаем t = lg x.
lg(10x⁻¹) = lg 10 + lg x⁻¹ = 1 − t, делим на lg x = t → (1 − t)/t. Аналогично lg(10x²) = 1 + 2t, lg(10x) = 1 + t, lg(10x⁻²) = 1 − 2t. В переменной t ОДЗ даёт t ≠ 0, t ≠ −1, t ≠ 1/2.
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Подставляем найденные выражения. Деление на дробь — умножение на обратную: степени t собираются в t⁴.
(1 − t)(1 + t) = 1 − t², (1 + 2t)(1 − 2t) = 1 − 4t². В числителе остаются t·t = t², в знаменателе t·t = t², итого делитель t⁴.
шаг 4.Решаем рациональное неравенство
Переносим 10 влево, приводим к общему знаменателю t⁴ и раскладываем числитель на множители.
(1 − t²)(1 − 4t²) = 4t⁴ − 5t² + 1. Раскладываем 6t⁴ + 5t² − 1 = (6t² − 1)(t² + 1) (замена s = t²: 6s² + 5s − 1 = (6s − 1)(s + 1)). Множители t⁴ > 0 и t² + 1 > 0 положительны, поэтому с учётом минуса неравенство равносильно 6t² − 1 > 0.
шаг 5.Обратная замена
Из t² > 1/6 следует |t| > 1/√6, то есть t < −1/√6 или t > 1/√6. Возвращаемся к x = 10ᵗ. Выколотые по ОДЗ точки t = −1 (x = 1/10) и t = 1/2 (x = √10) попадают внутрь решения — исключаем их.
Точки t = −1 и t = 1/2 лежат внутри закрашенных интервалов решения, но выколоты по ОДЗ — значит границы x = 1/10 и x = √10 из ответа исключаем.