Задача 10151396 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\sqrt[4]{15}}{\log_{x + 1} 11} \geq \frac{\log_{11} (x + 1)}{\log_{123} 11}

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма x + 1 положительно и не равно единице.

ОДЗ

{\begin{matrix} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - 1 \\ x \neq 0 \end{matrix}

Аргументы 11 и 123 положительны сами по себе. Знаменатель log_{x+1}11 в ноль не обращается: логарифм равен нулю только при аргументе 1, а он равен 11.

шаг 2.Переходим к логарифмам по основанию 11

Обе дроби содержат логарифмы с основанием 11 в знаменателе. Переворачиваем их: обратная величина логарифма меняет местами основание и аргумент.

\frac{1}{\log_{x + 1} 11} = \log_{11} (x + 1)

\frac{1}{\log_{123} 11} = \log_{11} 123

\sqrt[4]{15} \cdot \log_{11} (x + 1) \geq \log_{11} (x + 1) \cdot \log_{11} 123

Формула обратной величины логарифма: 1 : log_a b = log_b a.

шаг 3.Выносим общий множитель

Переносим всё влево. В обоих слагаемых есть множитель log₁₁(x + 1) — выносим его за скобку.

\sqrt[4]{15} \cdot \log_{11} (x + 1) - \log_{11} (x + 1) \cdot \log_{11} 123 \geq 0

\log_{11} (x + 1) \cdot (\sqrt[4]{15} - \log_{11} 123) \geq 0

Скобка — это число, оно от x не зависит. Остаётся выяснить её знак.

шаг 4.Сравниваем корень и логарифм

Оба числа сравниваем с двойкой: корень — через ⁴√16, логарифм — через log₁₁121.

\sqrt[4]{16} = 2

15 < 16 ⟹ \sqrt[4]{15} < \sqrt[4]{16}

\sqrt[4]{15} < 2

\log_{11} 121 = \log_{11} 11^{2} = 2

123 > 121 ⟹ \log_{11} 123 > \log_{11} 121

\log_{11} 123 > 2

\sqrt[4]{15} < 2 < \log_{11} 123

\sqrt[4]{15} - \log_{11} 123 < 0

Корень четвёртой степени возрастает, поэтому из 15 < 16 следует ⁴√15 < 2. Логарифм по основанию 11 > 1 возрастает, поэтому из 123 > 121 следует log₁₁123 > 2.

шаг 5.Решаем неравенство

Делим обе части на отрицательную скобку — знак неравенства переворачивается. Затем записываем ноль как log₁₁1 и снимаем логарифмы: основание 11 > 1, логарифм возрастает.

\log_{11} (x + 1) \cdot (\sqrt[4]{15} - \log_{11} 123) \geq 0

\log_{11} (x + 1) \leq 0

\log_{11} (x + 1) \leq \log_{11} 1

x + 1 \leq 1 ⟺ x \leq 0

вместе с ОДЗ x > - 1, x \neq 0 :

- 1 < x < 0

Обе границы выколоты по ОДЗ: при x = −1 аргумент x + 1 обращается в ноль, при x = 0 основание x + 1 становится равным единице.

ответ

x \in (- 1; 0)