условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны, основание x логарифма справа положительно и не равно единице. Знаменатель log₄ x обращается в ноль при x = 1 — это то же ограничение.
log₄ x = 0 равносильно x = 1 — отдельного нового ограничения знаменатель не даёт.
шаг 2.Переписываем правую часть
Логарифм частного — разность логарифмов, а log_x 4 обратен log₄ x по формуле перехода к новому основанию логарифма.
Формула перехода к новому основанию логарифма: log_x 4 = 1 / log₄ x.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Обозначим короче a = log₄ x и L = log₇ x, перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю a. В числителе выносится общий множитель (1 − a).
2L − 2La + 1 − a = 2L(1 − a) + (1 − a) = (1 − a)(2L + 1).
шаг 4.Метод интервалов
Каждый из трёх множителей — монотонная функция от x, поэтому знак меняет ровно один раз. Находим точки перемены знака и расставляем знаки на оси.
Логарифмические функции log₄ x и log₇ x возрастают (основания логарифмов 4 > 1 и 7 > 1), поэтому каждый множитель меняет знак ровно один раз и знаки на оси чередуются. Левее нуля выражение не определено, поэтому знак там не ставится. Пробная точка x = 2 на интервале (1; 4): (1 − log₄ 2)(2log₇ 2 + 1)/log₄ 2 = 0,5 · 1,71 / 0,5 ≈ 1,71 > 0 — знак «+». Корни 1/√7 и 4 закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва x = 1 выколота по ОДЗ.