шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен.

4 + 7x − 2x² > 0 ⟺ 2x² − 7x − 4 < 0 ⟺ (2x + 1)(x − 4) < 0 ⟺ −1/2 < x < 4.

шаг 2.Метод рационализации

|x − 2|² = (x − 2)². Разность аргументов: (4 + 7x − 2x²) − (x² − 4x + 4) = −3x² + 11x = x(11 − 3x).

шаг 3.Рационализируем модуль

Множитель |x − 2| − 1 — это разность модулей |x − 2| и |1|. По тому же методу её знак совпадает со знаком произведения ((x − 2) − 1)·((x − 2) + 1) = (x − 3)(x − 1). Подставляем и приходим к рациональному неравенству.

Разность модулей |f| − |g| совпадает по знаку с (f − g)(f + g). Здесь f = x − 2, g = 1.

шаг 4.Метод интервалов

Корни выражения: x = 0, x = 1, x = 3 и x = 11/3. Расставляем знаки на промежутках внутри ОДЗ −1/2 < x < 4.

Пробная точка x = 0,5 на интервале (0; 1): (0,5 − 3)(0,5 − 1)·0,5·(11 − 1,5) > 0 ✓. Корни x = 0 и x = 11/3 закрашены (там аргумент равен квадрату основания, равенство годится), x = 1 и x = 3 выколоты по ОДЗ.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Из решения метода интервалов оставляем то, что попадает в ОДЗ −1/2 < x < 4 с выколотыми x = 1, x = 2, x = 3. Получаем два промежутка.

В точке x = 11/3 аргумент 4 + 7·11/3 − 2·(11/3)² = (11/3 − 2)² совпадает с квадратом основания, поэтому левая часть равна 2 — точка входит в ответ.