Задача 10151386 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{4 - \frac{x^{2}}{2}} (55 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}) \leq \frac{2}{\log_{5 + \sqrt{3}} 2 + \log_{5 + \sqrt{3}} (14 + 5 \sqrt{3})}

шаг 1.Правая часть

Сумма логарифмов по одному основанию — логарифм произведения. Произведение оказывается точным квадратом самого основания, поэтому весь знаменатель равен двум.

\log_{5 + \sqrt{3}} 2 + \log_{5 + \sqrt{3}} (14 + 5 \sqrt{3}) = \log_{5 + \sqrt{3}} (28 + 10 \sqrt{3})

{(5 + \sqrt{3})}^{2} = 25 + 10 \sqrt{3} + 3 = 28 + 10 \sqrt{3}

\log_{5 + \sqrt{3}} {(5 + \sqrt{3})}^{2} = 2 ⟹ \frac{2}{2} = 1

\log_{4 - \frac{x^{2}}{2}} (55 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}) \leq 1

Квадрат суммы: (5 + √3)² = 25 + 2 · 5 · √3 + 3 = 28 + 10√3. Основание 5 + √3 положительно и не равно единице, поэтому все преобразования справа законны.

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом по тому же основанию — теперь обе части однотипны, и работает метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

1 = \log_{4 - \frac{x^{2}}{2}} (4 - \frac{x^{2}}{2})

{\begin{matrix} (4 - \frac{x^{2}}{2} - 1) (55 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - (4 - \frac{x^{2}}{2})) \leq 0 & 1 \\ 4 - \frac{x^{2}}{2} > 0, 4 - \frac{x^{2}}{2} \neq 1 & 2 \\ 55 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице, условие ③ — аргумент положителен.

шаг 3.Неравенство ①

Во второй скобке квадраты взаимно уничтожаются, остаётся линейное выражение. Обе скобки приводим к общему знаменателю 2.

1 \frac{6 - x^{2}}{2} \cdot \frac{102 + x}{2} \leq 0

(6 - x^{2}) (102 + x) \leq 0

- (x - \sqrt{6}) (x + \sqrt{6}) (x + 102) \leq 0

4 − x²/2 − 1 = 3 − x²/2 = (6 − x²)/2, а 55 − x²/2 + x/2 − 4 + x²/2 = 51 + x/2 = (102 + x)/2. Разность квадратов: 6 − x² = −(x − √6)(x + √6). Все три корня закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−√6; √6): (6 − 0)(102 + 0) = 612 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−102; −√6] ∪ [√6; +∞).

шаг 4.Ограничение ②

Основание логарифма положительно и не равно единице.

2 4 - \frac{x^{2}}{2} > 0, 4 - \frac{x^{2}}{2} \neq 1

x^{2} < 8, x^{2} \neq 6

- 2 \sqrt{2} < x < 2 \sqrt{2}, x \neq \pm \sqrt{6}

Основание обращается в единицу при x² = 6, то есть при x = ±√6 — обе точки выколоты. Решение ②: (−2√2; −√6) ∪ (−√6; √6) ∪ (√6; 2√2).

шаг 5.Ограничение ③

Аргумент логарифма положителен. Домножаем на 2 и раскладываем трёхчлен через дискриминант.

3 55 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} > 0 | \cdot 2

x^{2} - x - 110 < 0

D = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 110) = 1 + 440 = 441

x = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2} \begin{matrix} = 11 \\ = - 10 \end{matrix}

(x - 11) (x + 10) < 0

Домножаем обе части на 2, знак сохраняется; затем меняем стороны местами — знак «>» становится «<», слагаемые переносятся со своими знаками. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое <): трёхчлен отрицателен между корнями. Решение ③: (−10; 11).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② оставляет только окрестность нуля и выкалывает обе точки ±√6, а ограничение ③ ничего нового не отсекает — оно заведомо слабее ②.

Проверка: x = 2,7 ⇒ основание 4 − 3,645 = 0,355 < 1, аргумент ≈ 52,7 > 1, логарифм отрицателен и заведомо меньше единицы ✓. Проверка: x = 0 ⇒ основание 4, аргумент 55, log₄ 55 ≈ 2,89 > 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (- 2 \sqrt{2}; - \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; 2 \sqrt{2})