Задача 10151383 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2^{x + 10}} 24}{\log_{2^{x + 10}} (x^{2} - 16)} \geq \frac{\log_{2} (x^{2} + 11 x + 24)}{\log_{2} (x^{2} - 16)}

шаг 1.Сворачиваем обе части

И слева, и справа стоит отношение двух логарифмов с одинаковым основанием. По формуле перехода к новому основанию логарифма такое отношение — это логарифм, у которого основанием служит аргумент знаменателя.

\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c} = \log_{c} b

\frac{\log_{2^{x + 10}} 24}{\log_{2^{x + 10}} (x^{2} - 16)} = \log_{x^{2} - 16} 24

\frac{\log_{2} (x^{2} + 11 x + 24)}{\log_{2} (x^{2} - 16)} = \log_{x^{2} - 16} (x^{2} + 11 x + 24)

\log_{x^{2} - 16} 24 \geq \log_{x^{2} - 16} (x^{2} + 11 x + 24)

Основание 2^{x+10} обязано быть не равным единице, то есть x ≠ −10. После свёртки это ограничение из записи исчезает, поэтому его нужно сохранить отдельно.

шаг 2.Метод рационализации

Основание x² − 16 зависит от x, поэтому переходим к разности аргументов методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

{\begin{matrix} (x^{2} - 16 - 1) (24 - (x^{2} + 11 x + 24)) \geq 0 & 1 \\ x^{2} - 16 > 0, x^{2} - 16 \neq 1, 2^{x + 10} \neq 1 & 2 \\ x^{2} + 11 x + 24 > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице (сюда же попало ограничение на исходное основание 2^{x+10}), условие ③ — аргумент правого логарифма положителен. Аргумент 24 положителен сам по себе и условия не даёт.

шаг 3.Неравенство ①

Раскрываем вторую скобку и раскладываем оба множителя: первый — разность квадратов, во втором выносим общий множитель.

1 (x^{2} - 17) (24 - x^{2} - 11 x - 24) \geq 0

(x^{2} - 17) (- x^{2} - 11 x) \geq 0

(x - \sqrt{17}) (x + \sqrt{17}) \cdot (- x (x + 11)) \geq 0

Разность квадратов: x² − 17 = (x − √17)(x + √17). Все четыре корня закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 1 на интервале (0; √17): (1 − 17) · (−1 · (1 + 11)) = (−16) · (−12) = 192 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−11; −√17] ∪ [0; √17].

шаг 4.Ограничение ②

Основание логарифма положительно и не равно единице; сюда же добавляем условие на исходное основание 2^{x+10}.

2 x^{2} - 16 > 0, x^{2} \neq 17, x + 10 \neq 0

(x - 4) (x + 4) > 0, x \neq \pm \sqrt{17}, x \neq - 10

Трёхчлен x² − 16 положителен вне корней ±4, а в единицу он обращается при x = ±√17 — обе точки выколоты. Решение ②: (−∞; −√17) ∪ (−√17; −4) ∪ (4; √17) ∪ (√17; +∞), без точки −10.

шаг 5.Ограничение ③

Аргумент правого логарифма положителен.

3 x^{2} + 11 x + 24 > 0

(x + 3) (x + 8) > 0

Проверка по Виета: для x² + 11x + 24 сумма корней должна равняться −11, произведение — 24. У нас (−3) + (−8) = −11 и (−3) · (−8) = 24 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое >): трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: (−∞; −8) ∪ (−3; +∞).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ③ обрезает левый отрезок по x = −8, ограничение ② выкалывает внутри него точку −10 и поднимает левую границу правого отрезка с 0 до 4.

Проверка: x = −9 ⇒ основание 65, слева log₆₅ 24, справа log₆₅ 6 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 4,1 ⇒ основание 0,81 < 1, слева log₀,₈₁ 24 ≈ −15,1, справа log₀,₈₁ 85,9 ≈ −21,1 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 5 ⇒ основание 9, слева log₉ 24 ≈ 1,45, справа log₉ 104 ≈ 2,12 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in [- 11; - 10) \cup (- 10; - 8) \cup (4; \sqrt{17})