Задача 10151379 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Основание раскладываем на множители, а аргумент переписываем так, чтобы его положительность стала видна сразу.

ОДЗ

- 3 + 4 x - x^{2} = - (x^{2} - 4 x + 3) = - (x - 1) (x - 3) = (x - 1) (3 - x)

{\begin{matrix} (x - 1) (3 - x) > 0 \\ - 3 + 4 x - x^{2} \neq 1 \\ x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1 > 0 \end{matrix}

- 3 + 4 x - x^{2} = 1 ⟺ x^{2} - 4 x + 4 = 0

{(x - 2)}^{2} = 0 ⟺ x = 2

x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1 = {(x - 1)}^{2} (x + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}

{\begin{matrix} 1 < x < 3 \\ x \neq 2 \end{matrix}

Корни x² − 4x + 3 ловятся устно: по теореме Виета их сумма равна 4, а произведение равно 3 — подходят 1 и 3. Пробная точка x = 2 в произведении (x − 1)(3 − x): 1 · 1 = 1 > 0 — знак «+», решение лежит между корнями. Тождество для аргумента проверяется раскрытием скобок: (x − 1)²(x + 1/2) = (x² − 2x + 1)(x + 1/2) = x³ − 1,5x² + 1/2, и остаётся прибавить 1/2. При x > 1 оба слагаемых неотрицательны, поэтому аргумент не меньше 1/2 — условие «аргумент > 0» на ОДЗ выполнено само собой. Выколотая точка 2 — там основание обращается в единицу.

шаг 2.Метод рационализации

По методу рационализации знак логарифма совпадает со знаком произведения (основание − 1) · (аргумент − 1). В первой скобке получается полный квадрат со знаком минус, во второй — вынесенный множитель x².

(- 3 + 4 x - x^{2} - 1) (x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1 - 1) \leq 0

- 3 + 4 x - x^{2} - 1 = - (x^{2} - 4 x + 4) = - {(x - 2)}^{2}

x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} = x^{2} (x - \frac{3}{2})

- {(x - 2)}^{2} \cdot x^{2} (x - \frac{3}{2}) \leq 0

Замена знака работает только на ОДЗ — там основание положительно и не равно единице, а аргумент положителен.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни произведения: x = 0 и x = 2 — чётной кратности (петелька, знак через них не меняется), x = 3/2 — простой. Все три закрашены (нестрогое ≤). ОДЗ оставляет только промежуток от 1 до 3 и выкалывает точку 2.

Пробная точка x = 1 на интервале (0; 3/2): −(1 − 2)² · 1² · (1 − 3/2) = −1 · 1 · (−0,5) = 0,5 > 0 — знак «+». Минус перед произведением оставляем как есть: знак на оси задаёт пробная точка, а через петельки в точках 0 и 2 он не меняется. Пересечение с ОДЗ обрезает решение слева границей 1 и выкалывает точку 2; изолированная точка x = 0 в ОДЗ не попадает.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Метод рационализации

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ