Задача 10151376 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Оба основания положительны и не равны единице, оба аргумента положительны.

ОДЗ

x^{2} > 0, x^{2} \neq 1 ⟺ x \neq 0, x \neq \pm 1

x > 0, x \neq 1; {(x - 2)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 2

3 - 3 x > 0 ⟺ x < 1

x \in (0; 1)

Основание x требует x > 0, x ≠ 1; аргумент 3 − 3x > 0 даёт x < 1. Пересечение: 0 < x < 1. Условия x ≠ ±1, x ≠ 0, x ≠ 2 при этом выполнены автоматически.

шаг 2.Сводим к одному основанию

Выносим степени из основания и аргумента первого логарифма. На (0; 1) выполнено |x| = x и |x − 2| = 2 − x.

\log_{x^{2}} {(x - 2)}^{2} = \frac{\lg {(x - 2)}^{2}}{\lg x^{2}} = \frac{2 \lg | x - 2 |}{2 \lg x} = \log_{x} (2 - x)

\log_{x} (2 - x) - \log_{x} (3 - 3 x) \leq 0

lg(x − 2)² = 2 lg|x − 2|, lg x² = 2 lg x; двойки сокращаются. На интервале (0; 1) выражение x − 2 отрицательно, поэтому |x − 2| = 2 − x.

шаг 3.Метод рационализации

Оба логарифма с основанием x. По методу рационализации знак разности log_x f − log_x g совпадает со знаком (x − 1)(f − g).

(x - 1) [(2 - x) - (3 - 3 x)] \leq 0

(x - 1) (2 x - 1) \leq 0

Множитель основания (a − 1) = x − 1. Разность аргументов: (2 − x) − (3 − 3x) = 2x − 1.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корни 1/2 и 1 (закрашены, нестрогое ≤). Решением будет интервал со знаком «−». Слева ось обрезана условием x > 0 (ОДЗ).

Парабола (x − 1)(2x − 1) ветвями вверх, отрицательна между корнями: 1/2 ≤ x ≤ 1. Пересекаем с ОДЗ (0; 1): точка x = 1 исключена, остаётся [1/2; 1).

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Сводим к одному основанию

шаг 3.Метод рационализации

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

ответ