условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба основания положительны и не равны единице, оба аргумента положительны.
Основание 2|x| + 1 равно 1 только при x = 0. Аргумент-основание 7x + 4 > 0 даёт x > −4/7, а условие 7x + 4 ≠ 1 — точку x ≠ −3/7.
шаг 2.Замена t = log_{2|x|+1}(7x+4)
Второй логарифм — обратный первому: log_{7x+4}(2|x|+1) = 1/t. Приводим к общему знаменателю.
Логарифмы с переставленными основанием и аргументом взаимно обратны: log_a b · log_b a = 1, поэтому второй равен 1/t.
шаг 3.Решаем относительно t
Метод интервалов для дроби: нули числителя ±1 (выколоты, строгое >), точка разрыва t = 0.
Пробная точка t = 2: (1)(3)/2 > 0 ✓. Знаки чередуются (все нули и точка разрыва простой кратности). Решение: −1 < t < 0 или t > 1.
шаг 4.Обратная замена: t > 1
Основание 2|x| + 1 > 1 всегда, логарифм возрастает. Условие t > 1 = log_{2|x|+1}(2|x|+1) означает 7x + 4 > 2|x| + 1.
Раскрываем модуль по знаку x. При x ≥ 0 неравенство верно для всех таких x. При x < 0 получаем x > −1/3, то есть −1/3 < x < 0. Вместе: x > −1/3, x ≠ 0.
шаг 5.Обратная замена: −1 < t < 0
Здесь 0 < 7x + 4 < 1, значит x < −3/7. Левую границу t > −1 переводим в неравенство и пересекаем с ОДЗ.
Условие t > −1 = log_{2|x|+1}(2|x|+1)⁻¹ при x < 0 даёт (7x + 4)(1 − 2x) > 1, то есть 14x² + x − 3 < 0, корни −1/2 и 3/7; на области x < 0 это x > −1/2. Итог: −1/2 < x < −3/7.