шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, основание x/4 не равно единице, знаменатель первой дроби и знаменатель 127/(x − 16) в ноль не обращаются. Кроме того, делитель — вторая скобка — тоже не равен нулю.

В переменной t = log₂ x знаменатель первой дроби равен t² − t − 2 = (t + 1)(t − 2), он зануляется при t = −1 и t = 2, то есть при x = 1/2 и x = 4. Вторая скобка равна (8x − 1)/(x − 16): числитель зануляется при x = 1/8, знаменатель — при x = 16.

шаг 2.Упрощаем первую скобку

Обозначим t = log₂ x. Числитель первой дроби — сумма кубов, знаменатель раскладывается на множители; общий множитель (t + 1) сокращается. Второй логарифм переводим к основанию 2.

Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) при b = 1. Сокращение (t + 1) допустимо: по ОДЗ x ≠ 1/2, то есть t ≠ −1 — делитель не равен нулю, корень не теряем. Полный квадрат: t² + 6t + 9 = (t + 3)².

шаг 3.Упрощаем вторую скобку

Приводим вторую скобку к одной дроби и записываем оба числа как степени двойки — тогда и числитель, и знаменатель станут разностями степеней с основанием 2.

8x = 2³ · 2ᵗ = 2^{t+3}, 1 = 2⁰, x = 2ᵗ, 16 = 2⁴.

шаг 4.Метод рационализации

Разность 2ᵗ − 2⁴ имеет тот же знак, что t − 4; разность 2^{t+3} − 2⁰ — тот же знак, что t + 3. Общий множитель (t + 3) не сокращаем: он нужен на оси, чтобы правильно учесть кратность точки t = −3.

шаг 5.Метод интервалов

Точка t = −3 — общий ноль числителя и знаменателя суммарной нечётной кратности (2 + 1 = 3), знак через неё меняется, а сама она выколота. Точка разрыва t = 2 выколота, корень числителя t = 4 закрашен (нестрогое ≥). Ограничение ОДЗ t ≠ −1 в упрощённом выражении уже не видно — выносим его на отдельную ось.

Пробная точка t = 0 на интервале (−3; 2): (0 + 3)²(0 − 4) / ((0 − 2)(0 + 3)) = 9 · (−4) / (−6) = 6 > 0 — знак «+»; через все точки суммарная кратность нечётная, знаки чередуются. ОДЗ выкалывает t = −1 внутри интервала (−3; 2) и закрытую границу t = 4. Решение: −3 < t < −1, или −1 < t < 2, или t > 4.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x по формуле x = 2ᵗ. Показательная функция с основанием степени 2 > 1 возрастает, поэтому порядок границ сохраняется, а все они остаются выколотыми.

Проверка: x = 1 (t = 0) ⇒ первая скобка равна 9/(−2) = −4,5, вторая равна 7/(−15), частное положительно ✓. Проверка: x = 8 (t = 3) ⇒ первая скобка равна 36, вторая равна 63/(−8), частное отрицательно — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.