условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание |x + 1| положительно и не равно единице, оба аргумента положительны.
Модуль неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x + 1 = 0, поэтому |x + 1| > 0 равносильно x ≠ −1. Чётные степени (x + 1)⁴ и (x + 1)² устроены так же: они положительны при всех x, кроме x = −1. Условие |x + 1| ≠ 1 распадается на x + 1 ≠ 1 и x + 1 ≠ −1, то есть x ≠ 0 и x ≠ −2.
шаг 2.Первый логарифм равен четырём
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Логарифм степени основания равен показателю степени: logₐaⁿ = n. Квадрат в записи относится к самому логарифму, поэтому в квадрат возводим уже найденное число 4.
шаг 3.Решаем оставшееся неравенство
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Потенцирование — это снятие логарифмов с обеих частей, операция, обратная логарифмированию. Чтобы его выполнить, число 6 записываем как log₂64, ведь 2⁶ = 64. Корень из квадрата равен модулю, поэтому из (x + 1)² ≤ 64 следует |x + 1| ≤ 8, а это двойное неравенство −8 ≤ x + 1 ≤ 8.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Концы отрезка −9 и 7 закрашены (нестрогое ≤). Три точки ОДЗ −2, −1 и 0 лежат внутри отрезка и выкалываются.
Проверка крайней точки: при x = 7 основание |7 + 1| = 8, а log₂(7 + 1)² = log₂64 = 6, то есть 16 + 6 = 22 — равенство достигается, и точка входит в ответ. Выколотые точки −2, −1 и 0 разрезают отрезок на четыре части.