Задача 10151363 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}} (\frac{x^{2} + 5 x + 8}{x^{2} - 3 x + 2}) \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Числитель аргумента положителен при любом x, поэтому знак дроби задаёт её знаменатель.

ОДЗ

{\begin{matrix} 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} > 0 \\ 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \neq 1 \\ \frac{x^{2} + 5 x + 8}{x^{2} - 3 x + 2} > 0 \end{matrix}

D = 5^{2} - 4 \cdot 8 = 25 - 32 = - 7 < 0

x^{2} + 5 x + 8 > 0

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} > 0 ⟺ \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}} > 0

{(x - 1)}^{2} - 1 = (x - 1 - 1) (x - 1 + 1) = x (x - 2)

{\begin{matrix} x (x - 2) > 0 \\ (x - 1) (x - 2) > 0 \end{matrix}

Дискриминант числителя отрицателен, старший коэффициент положителен — значит x² + 5x + 8 положителен при любом x. Корни x² − 3x + 2 ловятся устно: по теореме Виета их сумма равна 3, а произведение равно 2 — подходят 1 и 2. Знаменатель (x − 1)² положителен при x ≠ 1, поэтому дробь ((x − 1)² − 1)/(x − 1)² положительна ровно тогда, когда положителен её числитель. Второе условие выполнено всегда: 1/(x − 1)² строго больше нуля, поэтому основание никогда не равно единице.

шаг 2.Метод рационализации

По методу рационализации знак логарифма совпадает со знаком произведения (основание − 1) · (аргумент − 1). Первая скобка равна −1/(x − 1)² и отрицательна при любом x из ОДЗ, поэтому делим на неё обе части — знак неравенства переворачивается.

(1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - 1) (\frac{x^{2} + 5 x + 8}{(x - 1) (x - 2)} - 1) \leq 0

- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot (\frac{x^{2} + 5 x + 8}{(x - 1) (x - 2)} - 1) \leq 0

\frac{x^{2} + 5 x + 8}{(x - 1) (x - 2)} - 1 \geq 0

\frac{x^{2} + 5 x + 8 - (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \geq 0

\frac{x^{2} + 5 x + 8 - x^{2} + 3 x - 2}{(x - 1) (x - 2)} \geq 0

\frac{8 x + 6}{(x - 1) (x - 2)} \geq 0

Единицу записываем как дробь с тем же знаменателем и вычитаем из неё: (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2, поэтому в числителе остаётся 5x + 8 + 3x − 2 = 8x + 6.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корень числителя: x = −0,75 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 1 и 2 — выколоты. Пересечение с ОДЗ обрезает решение справа точкой 0.

Пробная точка x = 0 на интервале (−0,75; 1): (8 · 0 + 6)/((0 − 1)(0 − 2)) = 6/2 = 3 > 0 — знак «+». Через каждую из точек −0,75, 1 и 2 знак меняется: все три корня простые. ОДЗ выбрасывает промежуток от 0 до 2, поэтому от интервала (−0,75; 1) остаётся только часть до нуля, а интервал (2; +∞) сохраняется целиком.

ответ

x \in [- 0,75; 0) \cup (2; + \infty)