условие
шаг 1.Область допустимых значений
Выделяем полный квадрат в основании: x² − 8x + 17 = (x − 4)² + 1. Оно положительно при любом x и равно единице только при x = 4. Из аргументов ограничение даёт только 2x² + 7x + 5 > 0.
Основание (x − 4)² + 1 не меньше единицы при любом x, а единице равно только при x = 4 — эту точку выкалываем. Знак трёхчлена через неё не меняется: 4 не корень трёхчлена, а ограничение на основание логарифма. Аргумент 3x² + 5 положителен всегда, условие x² − 8x + 17 > 0 выполнено автоматически. Корни −2,5 и −1 выколоты (строгое >), пробная точка x = 0: 2(0 + 1)(0 + 2,5) = 5 > 0 → на интервале (−1; +∞) знак «+». ОДЗ: x < −2,5 или x > −1, кроме x = 4.
шаг 2.Переходим к одному основанию
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Формула перехода: log_{a²}b = log_a b : 2. Здесь она даёт множитель 1/2, который гасит стоящую перед логарифмом двойку. Теперь обе части — логарифмы с одним и тем же основанием x² − 8x + 17.
шаг 3.Снимаем логарифмы
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Переносим всё влево: 3x² + 5 − 2x² − 7x − 5 = x² − 7x, дальше выносим общий множитель x. Корни x = 0 и x = 7 видны сразу из произведения x(x − 7), дискриминант не нужен.
шаг 4.Метод интервалов
Корни произведения x(x − 7): 0 и 7 — закрашены (нестрогое ≤), оба простые, знаки чередуются. Ниже — ось ОДЗ из шага 1 и пересечение: единственное, что она отрезает, — точка x = 4 внутри отрезка.
Пробная точка x = 1: 1·(1 − 7) = −6 < 0 → на интервале (0; 7) знак «−», решением ≤ 0 будет отрезок [0; 7]. Границы 0 и 7 закрашены — неравенство нестрогое. Ограничения ОДЗ x < −2,5 и x > −1 отрезок [0; 7] целиком накрывают, а точку x = 4 выкалывают.